標準正規分布に関する計算(絶対値X)の質問です。

標準正規分布に関する計算の質問です。

X～N(0, 1) である標準正規分布の関数
f(x)＝(１/√2π)*exp[-(x^2)/2] としたとき，

1. |X|の確率密度関数
2. E(|X|)
3. |X|の分布のメディアン

を求めよ，という問題です。

1. は，0≦x の範囲で 2f(x)，
　　　x＜0 の範囲で 0 になる
というところまでは解けるのですが，
(間違っていればご指摘お願いします)

2. のE(|X|)以降が計算できません。
E(|X|)＝∫[0→∞] x2f(x)dx
を計算すればよいのでしょうか?
また，計算結果も教えていただけると助かります。

3. は感覚的に2かな?という気がしますが，
計算に自信がありません。

数学にお詳しい方，回答していただけると嬉しいです。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/01/07 12:24

2 はそう. それを計算すればいいだけ.

3 は... そもそもこの場合のメディアンってどう定義してるんだろう.

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
2の計算結果が1.51前後になるのですが，これで合っているのでしょうか…?
また，3については問題文にこれ以上の条件が書かれていないのですが，おそらくX≧0の範囲における50％分位点という意味だと思います。

補足日時：2013/01/07 13:56

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/01/07 15:12

あそっか, メディアンはそれでよかったんだ. すみません, 「分布における中央の値」と勘違いしてました.

2 の定積分はきちんと計算できて結果は
√(2/π)
だと思いますよ.

3 についてはメディアンを m とすると
Pr{|X| < m} = 0.5
なんだけど, これは絶対値を外して
Pr{-m < X < m} = 0.5
と等価. つまり対称性から
Pr{0 < X < m} = 0.5/2 = 0.25
で, この m は表から探す.