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漆原さんの物理が面白いほどわかる本、力学の分野より質問です。
114ページの鉛直ばね振り子についてなのですが、
問題はばね定数k、自然長lの軽いばねの両端に質量mの小球A,Bがつけられており
Bは天井からつるした軽い糸の先についている。
Aをつりあいの状態から自然長の位置まで持ち上げた時の仕事Wを求めよ。
(これは(2)の(ア)の問題です)
模範解答では仕事の定義(力×距離)を使いグラフを用いて
解いているのですが、エネルギーを用いて解くことはできないのでしょうか
前問でつりあいの位置でのばねの伸びd=mg/kを求めたので
それを使って位置エネルギーの変化から、mgdが仕事になるのかと思った
のですが、模範解答が(mg)^2/2kに対し(mg)^2/kになってしまいます
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
位置エネルギーの増大分 mg x d = (mg)^2/k
ばねの弾性エネルギーの減少分 (1/2)kd^2=(mg)^2/(2k)
従ってエネルギー収支を考えれば持ち上げるのに必要なエネルギーは (mg)^2/(2k)
No.2
- 回答日時:
>位置エネルギーの変化から、mgdが仕事になるのかと思った
弾性力による位置エネルギーの変化を考慮しましたか?
物体系の力学的エネルギーEの変化について、まとめておきましょう。
(1)保存力(今の問題では、重力と弾性力が該当します)が仕事をしても、Eは変化しない。
(2)非保存力が仕事をすると、その仕事の分だけ、Eは変化する。
(3)個々の物体に働いている、個々の力(それが保存力であろうと非保存力であろうと)がした仕事の総和は、その物体の運動エネルギーの変化量に等しい。
(2)を利用して解くことになります。
Aを、ゆっくりdだけ持ち上げたとして、考えましょう。
釣り合いの位置を、重力による位置エネルギーの基準面とします。
重力による位置エネルギーの変化ΔW1は
ΔW1=mg・d
バネの弾性力による位置エネルギーの変化ΔW2は
ΔW2=-(1/2)k・d^2
物体系の力学的エネルギーの変化ΔEは
ΔE=ΔW1+ΔW2
持ち上げる力がした仕事をWとすると、
W=ΔE
が成り立ちますから
W=ΔW1+ΔW2
=mg・d-(1/2)k・d^2
となります。釣り合いの条件から
mg=kd
でしたから
d=(mg))/k
∴W=(1/2)((mg)^2)/k
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