数I Aの問題

「1から10までの整数から異なる3個を選び小さい順にa,b,cとする。積abcが6の倍数となるのは何通り?」
という問題です。
自分は
　
6を選ぶ場合
　9C2=36

6を選ばない場合、つまり、2,4,8,10から1つ、3,6,9から1つ、今選んだ2つと6以外の7つから1枚えらぶとき
　4×2×7=56

以上より　36＋56=92

と考えたのですが、これでは違うようです。答えは78です。自分のやり方のどこが違うのでしょうか。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/18 14:18

A No.5 のように、2 の倍数と 3 の倍数のリストから 6 を抜いておくと、

前者と後者の間の重複が避けられますね。

No.5 回答者： KEIS050162 回答日時： 2013/01/18 09:14

私も７６となったので、参考までに。

・６　を含む場合

９Ｃ２　＝　３６

次は、６を含まない場合ですが、重複を避けるため下記の様に場合分けしてみました。

・偶数が二つある場合　（２，４，８，１０から二つ。　３，９から一つ）
４Ｃ２　×　２Ｃ１　＝　１２

・３の倍数が二つある場合　（２，４，８，１０から一つ、３、９から二つ）
４Ｃ１　×　２Ｃ２　＝　４

・偶数が一つ、３の倍数が一つ、残りの一つは、１，５，７のどれかの場合
４Ｃ１　×　２Ｃ１　×　３Ｃ１　＝　２４


これを足して、３６＋１２＋４＋２４　＝　７６

いかがでしょうか？

No.4 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/01/17 22:22

>6を選ばない場合、つまり、2,4,8,10から1つ、3,6,9から1つ、今選んだ2つと6以外の7つから1枚えらぶとき

>4×2×7=56

例えば2,3,8を選んだ場合と，8,3,2を選んだ場合が重複しています．

まず，答は76個ではないですか．理論と実験でやってみましょう．

1
2
3
4=2^2
5
6=2・3
7
8=2^3
9=3^2
10=2・5

のように素因数分解しておきます．3つ選んだときに2と3の素因数がともに含まれればよいです．余事象を考えると，2または3の素因数が含まれない場合です．

A：素因数2が含まれない．

1,3,5,7,9から3つ選んで5C3=10通り．

B：素因数3が含まれない．

1,2,4,5,7,8,10から3つ選んで7C3=35通り．

A∩B：2,3の因子がともに含まれない．

1,5,7の1通り．

よって余事象の場合の数は

n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)=10+35-1=44通り

すべての場合は

10C3=10・9・8/(3・2・1)=10・3・4=120

よって2と3の素因数がともに含まれる場合，すなわち6の倍数になる場合は

120-44=76

の76個です．

Excelによる総当たりによる解法．プログラムでa,b,cを1～10の整数をそれぞれとるときabcを計算し，a<b<cとなるものだけを抜き出して，結果をシートにリストにする．ワークシート関数でMOD(abc,6)=0がTrueまたはFalseになるものをフィルタにかける．

すべての120通りは

1・2・3=6
1・2・4=8
1・2・5=10
1・2・6=12
1・2・7=14
1・2・8=16
1・2・9=18
1・2・10=20
1・3・4=12
1・3・5=15
1・3・6=18
1・3・7=21
1・3・8=24
1・3・9=27
1・3・10=30
1・4・5=20
1・4・6=24
1・4・7=28
1・4・8=32
1・4・9=36
1・4・10=40
1・5・6=30
1・5・7=35
1・5・8=40
1・5・9=45
1・5・10=50
1・6・7=42
1・6・8=48
1・6・9=54
1・6・10=60
1・7・8=56
1・7・9=63
1・7・10=70
1・8・9=72
1・8・10=80
1・9・10=90
2・3・4=24
2・3・5=30
2・3・6=36
2・3・7=42
2・3・8=48
2・3・9=54
2・3・10=60
2・4・5=40
2・4・6=48
2・4・7=56
2・4・8=64
2・4・9=72
2・4・10=80
2・5・6=60
2・5・7=70
2・5・8=80
2・5・9=90
2・5・10=100
2・6・7=84
2・6・8=96
2・6・9=108
2・6・10=120
2・7・8=112
2・7・9=126
2・7・10=140
2・8・9=144
2・8・10=160
2・9・10=180
3・4・5=60
3・4・6=72
3・4・7=84
3・4・8=96
3・4・9=108
3・4・10=120
3・5・6=90
3・5・7=105
3・5・8=120
3・5・9=135
3・5・10=150
3・6・7=126
3・6・8=144
3・6・9=162
3・6・10=180
3・7・8=168
3・7・9=189
3・7・10=210
3・8・9=216
3・8・10=240
3・9・10=270
4・5・6=120
4・5・7=140
4・5・8=160
4・5・9=180
4・5・10=200
4・6・7=168
4・6・8=192
4・6・9=216
4・6・10=240
4・7・8=224
4・7・9=252
4・7・10=280
4・8・9=288
4・8・10=320
4・9・10=360
5・6・7=210
5・6・8=240
5・6・9=270
5・6・10=300
5・7・8=280
5・7・9=315
5・7・10=350
5・8・9=360
5・8・10=400
5・9・10=450
6・7・8=336
6・7・9=378
6・7・10=420
6・8・9=432
6・8・10=480
6・9・10=540
7・8・9=504
7・8・10=560
7・9・10=630
8・9・10=720

このうち6の倍数は

1・2・3=6
1・2・6=12
1・2・9=18
1・3・4=12
1・3・6=18
1・3・8=24
1・3・10=30
1・4・6=24
1・4・9=36
1・5・6=30
1・6・7=42
1・6・8=48
1・6・9=54
1・6・10=60
1・8・9=72
1・9・10=90
2・3・4=24
2・3・5=30
2・3・6=36
2・3・7=42
2・3・8=48
2・3・9=54
2・3・10=60
2・4・6=48
2・4・9=72
2・5・6=60
2・5・9=90
2・6・7=84
2・6・8=96
2・6・9=108
2・6・10=120
2・7・9=126
2・8・9=144
2・9・10=180
3・4・5=60
3・4・6=72
3・4・7=84
3・4・8=96
3・4・9=108
3・4・10=120
3・5・6=90
3・5・8=120
3・5・10=150
3・6・7=126
3・6・8=144
3・6・9=162
3・6・10=180
3・7・8=168
3・7・10=210
3・8・9=216
3・8・10=240
3・9・10=270
4・5・6=120
4・5・9=180
4・6・7=168
4・6・8=192
4・6・9=216
4・6・10=240
4・7・9=252
4・8・9=288
4・9・10=360
5・6・7=210
5・6・8=240
5・6・9=270
5・6・10=300
5・8・9=360
5・9・10=450
6・7・8=336
6・7・9=378
6・7・10=420
6・8・9=432
6・8・10=480
6・9・10=540
7・8・9=504
7・9・10=630
8・9・10=720

の76個でそうでないものは

1・2・4=8
1・2・5=10
1・2・7=14
1・2・8=16
1・2・10=20
1・3・5=15
1・3・7=21
1・3・9=27
1・4・5=20
1・4・7=28
1・4・8=32
1・4・10=40
1・5・7=35
1・5・8=40
1・5・9=45
1・5・10=50
1・7・8=56
1・7・9=63
1・7・10=70
1・8・10=80
2・4・5=40
2・4・7=56
2・4・8=64
2・4・10=80
2・5・7=70
2・5・8=80
2・5・10=100
2・7・8=112
2・7・10=140
2・8・10=160
3・5・7=105
3・5・9=135
3・7・9=189
4・5・7=140
4・5・8=160
4・5・10=200
4・7・8=224
4・7・10=280
4・8・10=320
5・7・8=280
5・7・9=315
5・7・10=350
5・8・10=400
7・8・10=560

の44個です．

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/17 18:04

後者の中に重複はあるが、

前者と後者の間にも重複はある。

No.2 回答者： utazb 回答日時： 2013/01/17 17:36

4×2×7＝56の部分ですが、これだと例えば2,3,4と選んだ場合と4,3,2と選んだ場合を別々にカウントしてしまっているので、正解よりも数が大きくなってしまいます。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/01/17 17:04

後者に重複がありませんか?