lim(θ→0) sinθ/θ=1という公式

普通θ→0とするときは
θ→+0とθ→-0を計算してから
一致すればそれが答えとしますよね？

この公式を使う問題では
θ→+0とθ→-0を計算しなくてもいいのですか？

それは単位円上で必ず一致するということでしょうか？

記述とかだと自明ということですか？

よろしくお願いします。

No.4 回答者： hotonoa 回答日時： 2013/02/25 14:15

他の方と重複しますが、

この公式“のみ”を使う問題はよいですが、
他のθが関わる場合は必要に応じてください。

この公式の証明をしたい場合は、
一旦、lim(θ→-0)sinθ/θを
lim(θ→+0)sin(-θ)/-θ
として
sin(-x)＝-sinx
なので、
sin(-θ)/-θ⇒-sinθ/-θ⇒sinθ/θ
となります。
極限をとる前に式を整理すれば、+と-が
同じ式になることがわかります。
なので一方が証明できれば、他方は自明となります。
心配なようなら上式を最後に添えてください。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/20 17:05

質問意図が、いまいち掴みにくいのですが…

lim[θ→0] (sinθ)/θ = 1 を公式として使うときには、
それは、もう誰かが証明して、貴方も証明を理解している
…という前提の下に使うのですから、
lim[θ→+0] (sinθ)/θ = 1　かつ
lim[θ→-0] (sinθ)/θ = 1　であることは、
とっくに既知じゃありませんか？

θ→0 とまとめて扱ってよいし、 (sinθ)/θ を部分式に持つ
もっと大きな式の極限を考えるのであれば、残りの部分での
必要に応じて、θ→+0 と θ→-0 に分けて扱ったって構わない。
ともかく、公式は、証明済みなのです。

それとも、公式 lim[θ→0] (sinθ)/θ = 1 を証明しよう
という話をしているのなら、{ 教わった sinΘ の定義の形式
にもよりますが、 } θ→+0 と θ→-0 は分けて扱ったほうが
いいかもしれません。三角比を拡張して三角関数を定義する
スタイルの授業を受けていた場合は、そうなります。

No.2 回答者： shsst14 回答日時： 2013/02/20 13:26

>θ→+0とθ→-0を計算しなくてもいいのですか？

してもいいです。同じになります。

>それは単位円上で必ず一致するということでしょうか？

その公式と単位円とは関係ないです。

ちなみに、θの単位がラジアン以外の場合は１になりませんので注意してください。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/02/20 12:12

この公式「だけ」を使うなら, 考えなくていいよね.