4次元空間上での平面の式

任意の点を(x,y,z,u)とした4次元空間で
(1)3次元の立体を表す式は
ax+by+cz+du=e
でいいですか?

(2)2次元の平面を表す式は一般にどのような形になりますか?


上記のことに疑問を持った理由。

2次元空間で1次元の直線を表す式は、一般にax+by=cとなる。

これは、2点(x,y),(xo,yo)を通り、方向ベクトルが(a',b')で媒介変数tとして
x=a't+xo
y=b't+yo
と書くこともできる。

3次元空間で2次元の平面を表す式は、一般にax+by+cz=d
となる。
これは、
平面上の2点(x,y,z)と(xo,yo,zo)を結ぶベクトルとこの平面に垂直な直線の方向ベクトル(a,b,c)の内積が0であるという条件より導かれる。

実際に計算すると
a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0
ax+by+cz=axo+byo+czo
になり、ax+by+cz=dという形と同値であることが確認できる。

【別な考え】
3次元空間内の平面は、異なる3つの点によって決定するので、異なる3点を
P(xo,yo,zo)、Q(x1,y1,z1)、R(x2,y2,z2)
とする。この平面上の任意の点X(x,y,z)は、媒介変数t,sを使って
OX↑=OP↑+tPQ↑+sPR↑
と書ける。
成分表示にするために
OP↑=(xo,yo,zo)
PQ↑=(a,b,c)
PR↑=(a',b'c')
と方向ベクトルを定義すると、
x=xo+at+a's......(1)
y=yo+bt+b's......(2)
z=zo+ct+c's......(3)
という書き方も平面を表す式である。
実際に(1)と(2)から未知数t,sについてx,yの式で表すことができるので、それを(3)式に代入すれば、(1)(2)(3)式は、一つの式
a"x+b"y+c"z=d'という形になる。

直線を表す式は、媒介変数tを使って
x=at+xo
y=bt+yo
z=ct+zo
または、
(x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c=t
となる。

4次元空間で同じように、
直線や平面や立体を考えてみた。

2次元では、(1,0)と(0,1)が直交の基底ベクトル。
3次元では、(1,0,0)と(0,1,0)と(0,0,1)が直交の基底ベクトル。
したがって、
4次元では、(1,0,0,0)と(0,1,0,0)と(0,0,1,0)と(0,0,0,1)が直交の基底ベクトル。

4次元空間では、点は4つの成分で表される。

4次元空間での直線について。
直線は2点が与えられば書ける。
2点(x,y,z,u)と(xo,yo,zo,uo)を通り、その直線の方向ベクトルが(a,b,c,d)だとしたら、媒介変数tを使って、
x=at+xo
y=bt+yo
z=ct+zo
u=dt+uo
となって
(x-xo)/a=(y-yo)/b=(z-zo)/c=(u-uo)/d=t

次に4次元空間での３次元立体について。

２次元空間では、それより一つ次数が低い1次元の直線は一つの式
ax+by=c
で与えられた。

3次元空間では、それより一つ次数の低い２次元の平面は、一つ式
ax+by+cz=d
で表さられた。

したがって、4次元空間では、それより一つ次数の低い3次元の立体は、
ax+by+cz+du=e
で表されるだろう。

【別な考え】
4次元空間では、ある方向ベクトル(a,b,c,d)に直交する立体は一つしかない。なぜなら、4次元空間での基底ベクトルは4つで空間(立体)は3つの基底ベクトルで決定されて、残り一つが残っているからだ。
立体上の2点(x,y,z,u)と(xo,yo,zo,uo)を結ぶベクトルとこの立体に垂直な直線の方向ベクトル(a,b,c,d)の内積が0であるという条件で計算すると
a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)+d(u-uo)=
0
ax+by+cz+du=axo+byo+czo+duo
になり、ax+by+cz+du=eという形になる。


2次元の平面はどうだろうか？
(ここからが本題)
4次元空間では、ある方向ベクトル(a,b,c,d)に直交する平面は、２つあるはずだ。
なぜなら、4次元空間での基底ベクトルは4つで平面は2つの基底ベクトルで決定されて、残り2つが残っていて、それはこの平面に直交するように選べるからだ。

平面は、異なる3つの点によって決定するので、異なる3点を
P(xo,yo,zo,uo)、Q(x1,y1,z1,u1)、R(x2,y2,z2,u2)、
とする。この平面上の任意の点X(x,y,z,u)は、媒介変数t,sを使って
OX↑=OP↑+tPQ↑+sPR↑
と書ける。
成分表示にするために
OP↑=(xo,yo,zo,uo)
PQ↑=(a,b,c,d)
PR↑=(a',b',c',d')
と方向ベクトルを定義すると、
x=xo+at+a's......(1)
y=yo+bt+b's......(2)
z=zo+ct+c's......(3)
u=uo+dt+d's.....(4)
という書き方も平面を表す式である。
(1)と(2)を連立して、未知数t,sについてx,yの式で表すことができるので、それを(3)式と(4)式代入すれば、(1)(2)(3)(4)式は、２つの式

a"x+b"y+c"z+d"u=e'
a"'x+b"'y+c"'z+d"'u=e"
になる。
この２つの式からuを消去すれば、結局、
Ax+By+Cz=D
という形になる。

zを消去すれば、
Ax+By+Cu=D
yを消去すれば、
Ax+Bu+Cz=D
xを消去すれば、
Au+By+Cz=D

No.2 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/21 19:35

「三次元の立体」は、やや語弊ありで、

「三次元の空間」がいいかな？

言っていることの内容は、正しいと思います。
部分空間をパラメータ表示するときの成分の個数と、
一次独立な法線ベクトルの個数の間には、
足すと全空間の次元になるという法則があり、
「次元定理」と呼ばれています。
四次元空間の平面なら、それが 2+2=4 になる訳です。
一次独立な法線の個数と、一次独立な方程式の個数は、同じですね。

n 次元空間の n-1 次元部分空間を「超平面」と言います。
普段、我々が平面の性質と思っているものには、
平面の性質と超平面の性質が混じっていますが、
その点に関する誤解は、見受けられないようです。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/23 13:45

A No.2 にも書いたが、

連立一次方程式で記述するなら、それは、単体じゃなくて
部分線型空間なんじゃないのかな。
解が有界かどうか、考えてみた？

No.4 回答者： jmh 回答日時： 2013/02/23 04:11

これかな？

参照URL: Wikipedia/単体 (数学) - 例

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E4%BD%93_ …

No.3 回答者： jmh 回答日時： 2013/02/21 21:44

body soap?

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%94%E8%83%9E% …

この回答への補足

なるほど5胞体ですね。
つまり二次元空間では、3本の等しい線分(1次元図形)で囲まれものが正三角形。
三次元空間では、4つの等しい正三角形(2次元図形)で囲まれたものが正四面体。
四次元空間では、5つの等しい正四面体(3次元図形)で囲まれたものが正五胞体。
五次元空間では、6つの等しい正五胞体で囲まれたものが正超？六胞体？

補足日時：2013/02/22 20:45

No.1 回答者： jmh 回答日時： 2013/02/21 01:23

(1) "ちょー"平面ですね。

ここでいう「３次元の立体を表す式」って何ですか。例えば「２次元の正三角形を表す式」にｚ＝０を付け加えたら、それは「３次元の正三角形を表す式」ですか？

参考URL：http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E5%B9%B3% …

この回答への補足

ここでいう「３次元の立体を表す式」って何ですか。
4次元空間内の「超立体」です。
2次元空間での2次元の閉じた平面は、最低3本の1次元の直線が必要。
三角形が最低の多角形。

3次元空間内の3次元の閉じた立体は、最低4つの2次元の平面が必要
4面体が最低。

これより、
4次元空間内の4次元の閉じた「泡体」は、最低5つの3次元の「超立体」が必要？

補足日時：2013/02/21 02:11