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底面に穴の開いた空のタンクへ水を入れた時、水位高さがどうなるか教えて下さい。
(1)底面積120cm2、高さ2.5cmの空のタンク(容積300cm3つまり0.3L)
(2)このタンク底面に直径6mmの穴が開いている(断面積0.283cm2)
(3)このタンクに流量1L/minで上から水を入れる。
(4)環境は全て大気圧、損失等は無視する。

とした場合、タンクの水位は何cmの時に一定になるのでしょうか?また、水の入れ始めからの
経過時間は何sec後に一定になるのでしょうか?

各書籍を確認したところ、
十分な大きさのタンクに最初からある程度水が入っている場合なら(各単位を換算して)、
Q=Avより v=0.001/(60×π/4×0.006^2)=0.589m/s
v=√(2gH)より H=(0.589^2)/(2g)=0.0177m=1.77cm で水位が一定となる

と計算できました(水位一定になるまでの時間は不明)。

今回は最初から水のない場合なのですが、調べても参考となるものがなかったもので…

御教授よろしくお願いいたします。

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A 回答 (5件)

やはり文字による方程式の意味がわからないと,理解は難しいと思います。



定常水位では,注水量と排水量が等しいので
Q = Av
v = √(2gH)
これはご紹介の通りです。

定常水位に達する前は,水位をyとおくと単位時間当たり
Q - Av
  ただし,v = √(2gy)
ずつ体積が増加していくことになります。

微分 dV/dt は体積Vが増加していく速さ(時間変化率)を表します。つまり,単位時間当たりの体積変化です。したがって,
dV/dt = Q - Av
が成立することになるのです。

たとえば,注水の初めには v = √(2gy) = 0 ですから
dV/dt = Q - Av = Q = 1 [L/min] = 16.7[cm^3/s]
水位が上がる速さで 16.7/120 = 0.139 [cm/s]

水位が y = 1.5 [cm] = 0.015 [m] のとき,
v = √(2gy) = √(2×9.8×0.015) = 0.542 [m/s]
なので,
dV/dt = Q - Av
= 0.000016.7 - 0.0000283×0.542 = 0.00000136 [m^3/s]
= 1.36 [cm^3/s]
水位が上がる速さで 1.36/120 = 0.0113 [cm/s]

初め1秒間に1.4mmほど水位が上昇するのに対して,後者は0.1mmほどしか上昇しなくなります。この調子で水位が定常水位に近づくにつれて水位が上がる速さがゼロに近づくために,理屈上は定常水位に達するのに無限大の時間が必要になるのです。

つまり,定常水位の99%に達する時間は計算できても,定常水位に達する時間は計算できないということになります。
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この回答へのお礼

色々調査し、なんとか理解できました。
有難うございました。

お礼日時:2013/03/07 17:05

排水抵抗はないものとします。



給水量:Q = 1L/min = 10^-3/60 m^3/s
排水口半径:r = 3mm = 3×10^-3 m
排水口面積:A = πr^2
タンク底面積:S = 120cm^2 = 120×10^-4 m^2

時間 t の後の水位を y(t),体積を V(t) = Sy(t) とすると

dV/dt = Q - A√(2gy)

水位が一定の定常状態では,dV/dt = S dy/dt = 0 ですから
定常水位を y_t とおくと,
0 = Q - A√(2gy_t)
∴y_t = Q^2/(2gA^2) = 0.0177 [m] = 1.77 [cm]

V = Sy を考慮すると上の微分方程式は
S/{ A√(2g) } dy/dt = √y_t - √y
となります。

y が連続的に y_t に近づくと,水位変化率 dy/dt は連続的に 0 に近づきます。
したがって,水位がy_t になるためには,理論上無限大の時間が必要だと思います。
実際,上の微分方程式を解こうとすると,原始関数t(y)は求まるものの
y=0からy=y_tまでの定積分は無限大に発散します。

下記が参考になるかもしれません。
http://csspcat8.ses.usp.ac.jp/ses/kyouin/shakei/ …

この回答への補足

yokkun831様
御教授有難うございます。
すみません、当方全くど素人で簡単な微積分すらままなりません。できましたら、具体的数値を書いて教えていただければありがたいのですが(やってみましたが、やはりできませんでした)。
教えていただいたにも関わらず不躾なお願いですみません。

補足日時:2013/02/28 17:17
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タンクの底面積をS,タンクの底の穴をSoとする.


水面の高さxのときの穴から出ていく流体の速度をvとするとベルヌーイの定理より
ρgx=1/2 ρv^2
つまり
v=√(2gx)
とわかる.任意の高さでの流速がわかったので次に体積の時間変化について考えます.ある時刻でのタンクの中の体積をQ(t)とすると,
dQ(t)/dt=Qo-So=√(2gx)
であり,Q(t)=xSより
dQ(t)/dt=Qo-So=√(2gQ(t)/S)
となります.これは変数分離型の微分方程式なので一般解がわかり,ほしい量はすべてわかります.

この回答への補足

masics様
御教授有難うございます。
上記回答にも補足で書きましたが、当方全くど素人で簡単な微積分すらままなりません。できましたら、具体的数値を書いて教えていただければありがたいのですが(教えていただいた内容で計算やってみましたが、やはりできませんでした)。
教えていただいたにも関わらず不躾なお願いですみません。

補足日時:2013/02/28 17:18
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この回答へのお礼

色々調査し、なんとか理解できました。
有難うございました。

お礼日時:2013/03/07 17:05

 補足、承りました。

#1です。

>安定水位になるまでの時間の計算方法があれば御教授いただきたいのですが。

 1次遅れ系の微分方程式になりますが、このモデルはシンプルなようで、かなり面倒くさかった気がします。よく覚えていません。すみません。

「1次遅れ系 微分方程式 タンク」などで検索すると、条件を含めた解法が探せるはずですので、お試しください。
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 1.77cmについて検算はしていませんが、タンクの最初の水位は、最終的に安定する水位とは無関係です。



 安定水位より、初期の水位が高ければ安定時より流出が多くなり、水位は下がって行きます。初期の水位が低い(0を含む)なら安定時より流出が少なくなり、水位は上がって行きます。これは、タンク底にかかる水圧を考えれば、穴から出て行く水量の増減で分かると思います。

 結局、最初のタンク水位に関係なく、安定する水位は決まります。

この回答への補足

cozycube1様
早速の御回答ありがとうございます。水位の高低と水頭圧の関係から、結局は水位がある所で安定すると考えればよいという事でしょうか。
あと、安定水位になるまでの時間の計算方法があれば御教授いただきたいのですが。

補足日時:2013/02/27 13:32
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Qボード線図の書き方についてわかりません

たとえば伝達関数が
G(s)=k/1+Ts 
の形ならば、ゲイン、位相差について書き方がわかるのですが

レポートで
G(s)=1/2s^2+3s+1
という問題が出まして
ゲイン、位相は計算としてはできたのですが、図が描けません。
横軸が普通1/Tなどなので
そこをどう設定して、どう描けばよいかわかりません。

恥ずかしながら苦手な分野なので
なるでく詳しい解説を所望いたします。

Aベストアンサー

図の詳しい描き方を習ってないのかな。
伝達関数の"掛け算"は、ボード線図上では"足し算"になります。(ゲインはlogをとったため.位相は、expの性質から)

G(s)=1/2s^2+3s+1 = {1/(2s+1)}・{1/(s+1)}となりますから、
1/(2s+1)・・・(1)
1/(s+1)・・・(2)
という1次系システムの掛け算になっています。
この2つのボード線図を書いて、それぞれ足しあわせればいいです。

もうちょっと詳しくいうと、(横軸の単位省略します)
(1)はT=2なので横軸が0.5のところで曲がりますね。
(2)は横軸が1のとこで曲がりますね。

この(1)と(2)の図をそれぞれ描いてください。
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0.5~1.0までは(1)が-20[dB/dec]、(2)が0[dB]
1.0以降は両者とも-20[dB/dec]になります。

このため、Gのゲイン千頭は,0.5まで0[dB]
0.5~1.0は-20[dB/dec]
1.0~は-40[dB/dec]
のグラフになります。

ボード線図は、制御工学上でめちゃくちゃ重要な図なので、いまのうちに得意にしておいたほうがいいですよ。
(後々、PIDとか位相進み遅れとか、ゲイン余裕・位相余裕・ループ整形とかやるかと思いますが、ボード線図を読めないとおわります)

演習本なんかは『演習で学ぶ基礎制御工学』なんかをお勧めします。

図の詳しい描き方を習ってないのかな。
伝達関数の"掛け算"は、ボード線図上では"足し算"になります。(ゲインはlogをとったため.位相は、expの性質から)

G(s)=1/2s^2+3s+1 = {1/(2s+1)}・{1/(s+1)}となりますから、
1/(2s+1)・・・(1)
1/(s+1)・・・(2)
という1次系システムの掛け算になっています。
この2つのボード線図を書いて、それぞれ足しあわせればいいです。

もうちょっと詳しくいうと、(横軸の単位省略します)
(1)はT=2なので横軸が0.5のところで曲がりますね。
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Q回転数と流量、揚程、動力の関係について

こんにちは。
ポンプで回転数nと流量Q、回転数nと揚程H、回転数nと軸動力Lの関係について回転数n1、n2としたときQ1/Q2=n1/n2、H1/H2=(n1/n2)^2、L1/L2=(n1/n2)^3とそれぞれ1乗、2乗、3乗の関係がある
解説を見るのですがこの根拠を教えて下さい。

Aベストアンサー

 
根拠は「運動とエネルギーの関係」です。
ポンプを理想化した原理的な表現です。


1.流量。
直径Dの車輪がn回転/秒で回ってる場合の外周の速度は
  V = πD・n  です。
外周に羽根を付けて水を掻くと、水も同じ速度Vで動きますから、

(1) 流量Qは 『 回転数に比例 』 します。
(2) Q = k・n  比例式で表した。kは比例係数。
(3) Q1/Q2 = n1/n2 係数を使わない形の比例式。

 (3)は、(2)の適当な2カ所、Q1=k・n1、Q2=k・n2 を分数にしただけのものです。分数にするとkが消えますよね。kは水車の寸法とか水の抵抗などが絡む現実的なものだから、抽象的な話をするときには出て欲しくない、そこで(3)のように「出てこない形」にするのです。
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となります。



3.動力
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  L = mgH = ρQgH J/s
これもまた分数化すると、
  L1/L2 = (Q1H1)/(Q2H2)
これにQとHの式を入れると、
(以降は自分で。)



(分数にしてただの数にする方法を、無次元化や基準化などとも言います)

 
根拠は「運動とエネルギーの関係」です。
ポンプを理想化した原理的な表現です。


1.流量。
直径Dの車輪がn回転/秒で回ってる場合の外周の速度は
  V = πD・n  です。
外周に羽根を付けて水を掻くと、水も同じ速度Vで動きますから、

(1) 流量Qは 『 回転数に比例 』 します。
(2) Q = k・n  比例式で表した。kは比例係数。
(3) Q1/Q2 = n1/n2 係数を使わない形の比例式。

 (3)は、(2)の適当な2カ所、Q1=k・n1、Q2=k・n2 を分数にしただけのものです。分数にするとkが...続きを読む

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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

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Q微分方程式とタンクの排水について

「タンクの排水」に関する問題について質問があります。

よく数学IIIの微分方程式の分野で出題されるタンクの水の排水問題が
あります。
 例:(図として添付してみました。見にくいかもしれません・・・
    容器が逆三角形であるということを伝えたいです・・・)

この手の問題では必ず条件に、 dV/dt= √h  が与えられています。
(V=残る水の体積 t=排水開始からの時間 h=水深)

質問は、物理的になぜこの条件が成り立つのかです。
hが大きいほど排水が早いのは、
よくある「水を満たしたペットボトルの側面に穴を開ける」実験のように、
水深が大きいほど排水口にかかる圧力が大きいからかと思うのですが、
root はどこから出てくるのかが疑問です。

この手の問題では必ず、
「容器はy=x^2をy軸周りに回転させてできる図形で表される」とか、
添付の図の問いのように、hが小さいほど半径が小さくなるような容器
ばかりなので、そこが関係するのでしょうか・・・?
もし円柱形の容器なら、√h でなくて h に比例するのでしょうか?

となると以下のURLの例(円柱容器での排水)で
V(体積)が指数関数的に表されるのはあくまで
イメージ図なのでしょうか・・・?
 例:http://www.ee.t-kougei.ac.jp/tuushin/lecture/math1/htdocs/complex/example/c/index.html
 (コンデンサーの放電を容器の水の排水に置き換えたグラフシミュ)


水深と排水速度・体積変化、およびその際の容器の形・・・。
詳しい方よろしくお願いします。

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(V=残る水の体積 t=排水開始からの時間 h=水深)

質問は、物理的になぜこの条件が成り立つのかです。
hが大きいほど排水が早いのは、
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Aベストアンサー

はじめまして

回答まではできませんが、アドバイスだけ。
10年くらい前に勉強したことを思い出しながらですので、ご容赦ください。

もし、容器が円筒ならばhの曲線はコンデンサーの放電のVと同じようになります。
(ただし、RはIに依存しないとした場合です。)

ご質問のケースでは、
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これらの方程式を解いたら、曲線が得られると思います。

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急いでいます。XDWファイルの開き方教えてください。

メールに添付されたファイル(拡張子XDW)を開こうとすると
「指定されたファイルに対してこの操作を行うプログラムが関連つけられていません。
コントロールパネルの[関連付けを設定する]でプログラムを関連づけてください。」と出ます。

調べて、フジゼロックスの Docu Worksというソフトをダウンロードしてみたんですが
(したつもりですができてるのか…??)なにも変わりません。

関連付けの方法はここを見ましたがよくわかりません…
http://homepage3.nifty.com/nanahoshi/filetype/filetype.html

これが見れるまで、寝られなそうです…
もしわかる方いらっしゃいましたら助けてください。

Aベストアンサー

http://docuworksn.blog108.fc2.com/blog-entry-2.html

Q【流体】オリフィスの流出係数について

(1)流出係数とその近似式は実験値からきていると思いますが、
 JIS Z 8762にあるC=0.5961+0.0261β^2~(略)
 等は何か代表的な文献からきているのでしょうか?

(2)β=d/D(d:絞り後の径、D:管路径)の適用範囲について、
  0.05≦β≦0.64
 等の制限がありますが、βが0.64~1の流出係数が乗った文献をご存じだったら教えて下さい。
 (~0.64までが適用範囲なのが、実験した範囲がそこまでなのか、何か別の理由があるか分からないので)

(3)β=d/D=1の場合、流出係数α=1でしょうか?

Aベストアンサー

読んでいるJISが古いような....

>βが0.64~1の流出係数が乗った文献をご存じだったら教えて下さい。
JIS Z 8762 の2007版。 βが0.75まで。

>流出係数の元文献
JIS Z 8762 の2007版  の最後尾に文献名が出ています。
http://kikakurui.com/z8/Z8762-2-2007-01.html

>β=d/D=1の場合、流出係数α=1でしょうか? (流出係数はC、縮流係数はα。何か混乱してる。)
β=d/D=1のときには差圧が発生しないので、JIS Z 8762の目的(=流量測定)は不可能になります。
β=d/D=1の数値としては、
そもそもオリフィスではなくて普通の直管の一部になってしまうので、理論上は
C=無限大 α=1。

流量の算定式をよく見てください。
q=C/(1-β^2)×......
となっているから、ゼロでの割り算が生じているので、Cの値が何であれ、流量の算定は不可能です。

※βが大きいと、圧力が小さいことになるから、実用上、流量測定が不可能。
 ゆえにβの値には上限があります。

読んでいるJISが古いような....

>βが0.64~1の流出係数が乗った文献をご存じだったら教えて下さい。
JIS Z 8762 の2007版。 βが0.75まで。

>流出係数の元文献
JIS Z 8762 の2007版  の最後尾に文献名が出ています。
http://kikakurui.com/z8/Z8762-2-2007-01.html

>β=d/D=1の場合、流出係数α=1でしょうか? (流出係数はC、縮流係数はα。何か混乱してる。)
β=d/D=1のときには差圧が発生しないので、JIS Z 8762の目的(=流量測定)は不可能になります。
β=d/D=1の数値としては、
そもそもオリフィス...続きを読む


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