数III 定積分

In=∫[0→π/2] sin^n xdx,
Jn=∫[0→π/2] cos^n xdx　　(n=0,1,2…）とする。

In=Jnを示せ。

cosx=sin(π/2-x)　だから、　π/2-x=t、　dx=dt

x：0→π/2
t：π/2→0

定積分の値は積分定数の取り方によらない。つまり、
Jn=∫[π/2→0] sin^n tdt = ∫[π/2→0] sin^n xdx=In

これで合ってますか？

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/06 15:14

π/2-x = t と置換したら、dx = dt ではないです。

-dx = dt になります。

∫[π/2→0] (sin x)^n dx = In でもありませんね。

Jn = ∫[0→π/2] (cos x)^n dx
= ∫[π/2→0] (sin t)^n (-dt)　　　←置換する
= - ∫[π/2→0] (sin t)^n dt　　　　←マイナスを括り出す
= - ( -∫[0→π/2] (sin t)^n dt)　　←積分区間を反転
= ∫[0→π/2] (sin x)^n dx　　　　　←積分変数を付け替え
= In

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/03/06 16:18

>定積分の値は積分定数の取り方によらない。

つまり、
>Jn=∫[π/2→0] sin^n tdt = ∫[π/2→0] sin^n xdx=In
>これで合ってますか？
積分範囲の[π/2→0]が、積分の「下限が0,上限がπ/2」の
意味であれば合っています。

「積分定数」ではなく「積分変数」です。
定積分における積分変数はその積分の内部だけしか影響を
及ぼしませんから、基本的には積分変数としてどんな文字の変数をつかっても構いません。