ある代数系で 0^0=1 とすることについて

体と言われる代数系においては、0に逆元0^-1はありません。
従って、0^0=0^-1*0^1=1 とはされていません。
逆に言えば、体でなければ、0に逆元が存在し、0^0=1 とすることができるだろうと予想されます。

次のような代数系を定義します。

-- ここから --
集合X = {0, 1} とする。

加法を以下のように定義する。
0+0=0, 0+1=1
1+0=1, 1+1=0

乗法を以下のように定義する。
0*0=1, 0*1=0
1*0=0, 1*1=1

この代数系では、体での基本法則は以下のようになる。

・交換法則と結合法則は、加法と乗法で成立する。
・加法単位元は0で、-0=0, -1=1 となる。
・乗法単位元は1で、1/0=0, 1/1=1 となる。
・0≠1。
・分配法則は成立しない。
-- ここまで --

この代数系で、べき乗を定義します。

べき乗：a^1=a, a^(n+1)=a^n*a より
0^1=0, 0^2=1, 0^3=0, …
1^1=1, 1^2=1, 1^3=1, …
さらに a^-1=1/a, a^-n=(a^-1)^n より
0^-1=0, 0^-2=1, 0^-3=0, …
1^-1=1, 1^-2=1, 1^-3=1, …
そして a^0=a^-1*a より
0^0=1
1^0=1
となります。

以上の結果から、次のことが分かります。

加法の単位元を０で表し、乗法の単位元を１で表すとき、０＾０＝１となる。
…という例が存在する。

つまり、０＾０が未定義なのは、体に固有の問題であり、
分配法則が成立しない代数系では、０＾０＝１となることがある。

ここまでの計算とこの結論は妥当ですか？

No.3 ベストアンサー 回答者： tsukita 回答日時： 2013/03/13 16:19

Ans#2です。

>私としては、体ではないと明記する限り、吸収元ではない０は許されると考えます。

>私の目的は、体を拡張した場合に０＾０＝１となるものが存在するか考えることであり、
>その準備として、簡単なものから考えてるに過ぎません。

体の拡張・指数の拡張を研究されていることは、先の、このQAとは別のところでお察しします。吸収元ではない『０』とは、体における吸収元の０に“準じたもの”であるのかが気になるところです。現在のところ、０＾０＝１となるような代数系が、上記のＱの中でＸとして示されているのでしょうけれど、この段階では、このＸが体や体に類似した代数系への拡張と対応できるものとは、まだまだ呼べません。（それについては、質問者さまが一番わかっていると思いますが。）


つまり、この例Ｘは
＞つまり、０＾０が未定義なのは、体に固有の問題であり、
＞分配法則が成立しない代数系では、０＾０＝１となることがある。
という、結論について、全く、全く何も説明していないのではないですか？
２文目の０が、体の吸収元の０に“準じたもの”を指しているとしてもです。

いいかえれば、
>ここまでの計算とこの結論は妥当ですか？
少なくとも“ここまでの計算”が“この結論”に妥当性を与えるものではありません。

この回答へのお礼

> この段階では、このＸが体や体に類似した代数系への拡張と対応できるものとは、まだまだ呼べません。（それについては、質問者さまが一番わかっていると思いますが。）

そうでしょうね。
そもそも、素人の私が気付けるような拡張がそうそうあるとも思えません。

> 少なくとも“ここまでの計算”が“この結論”に妥当性を与えるものではありません。

計算は合ってたみたいですね。
また、体の吸収元の０に“準じたもの”という意味も今回の質問で理解が進みました。

今回のこの結論は、元が３つになるまでとっておきます。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/13 17:03

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/16 20:08

＞ 両方を指すに決まっています。

今回の試みで、0^0 の二つの 0 は素性が全く異なる。
左の 0 は X の元 0 で、右の 0 は整数の 0。
X と整数では + や * の定義が全く異なるから、
a^p の a を有理数まで広げる話と p を有理数まで
広げる話を、今回の成果から発展させようというのなら、
両方をゴッチャにはできないはずだ。

この回答へのお礼

> 今回の試みで、0^0 の二つの 0 は素性が全く異なる。

これは失礼しました。
その通りですね。

p は整数のままで、有理数まで広げることはありません。

なお、今回の成果を発展させるためにも、この質問は閉めさせてもらいます。
次回の質問でも意見を聞かせてくれることを期待しています。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/16 21:22

No.7 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/16 13:44

「0 は有理数」の 0 が 0^0 の内どちらの 0 を

指しているかによって、話は異なるかもしれない。

a^p の定義域を 実数^実数 へ拡張するとき、
[a] 有理数^実数 を経由する
[b] 実数^有理数 を経由する
[c] 一度に 実数^実数 へ持っていく
のどの経路をとるかで、
a^p に要請される連続性は異なり、その結果、
0^0 のとるべき値も違ってくる。

その話は、前回質問の A No.16 に、
破綻する [3] をどのように修正すべきか？の件で
述べておいた。

ともあれ、今回の成果は、登場する 0, 1, * の意味を
記号が同じであることで他のものと混同さえしなければ、
きちんと成立していると思う。

この回答へのお礼

> 「0 は有理数」の 0 が 0^0 の内どちらの 0 を
> 指しているかによって、話は異なるかもしれない。

両方を指すに決まっています。
そして、この質問のシリーズ（今回がその１回目）に次があるとすれば、
それは、有限か可算濃度の集合の話になるということです。

> a^p に要請される連続性は異なり、その結果、
> 0^0 のとるべき値も違ってくる。

連続性に拘っているようですが、ここはべき乗を定義しようという話であり、べき乗は連続性に依存していません。
もっと分かりやすく言えば、実数乗が定義されたべき乗は存在しません。

別々の質問であることを理解した上で回答して下さることを望みます。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/16 15:02

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/15 21:03

＞ ０が有理数であるのなら、１／０も有理数（の拡張）ですからね。

今回の X の元 0 は、ただ名前を 0 としただけであって、
有理数でも整数でもない…という話を A No.5 でしたんだがな。
0 が有理数なら、「乗法」* で 0*0=1 にはならないから。

前回質問 http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7981273.html
の証明が、a=0 では破綻していることから見て、
＞ 0^0=0 と定義すると問題あること
が示せているとは思えない。他に何か証明があれば、話は別だが。

＞ 0^0=1 と定義しても問題ないこと
は、「問題ない」が「a^(p+q)=(a^p)(a^q) が成立する」という意味
であれば、それこそ問題ない。しかし、その意味では、
0^0=0 と定義しても、同様に「問題ない」ことになる。
どこに問題があるのか、そこを説明しないとね。

この回答へのお礼

> 今回の X の元 0 は、ただ名前を 0 としただけであって、
> 有理数でも整数でもない…という話を A No.5 でしたんだがな。

実数を考える前に有理数で考える必要があると答えただけですよ。
今回の質問で考えた代数系がそれだと解釈したのなら、勘違いです。

> 前回質問の証明が、a=0 では破綻していることから見て、
> > 0^0=0 と定義すると問題あること
> が示せているとは思えない。他に何か証明があれば、話は別だが。

別個の質問ですから、答えることはできません。
ただし、その質問にjmhさんは#15の後、問題点の指摘を続けていません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/16 08:35

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/15 14:33

素晴らしい。

今回は論理の破綻が無い。
記号の使い方が少し紛らわしいようだから、
今回の成果を清書しておこう。

集合 G 上に二項演算 ＊ が定義され、
群になっているとする。その単位元を e と置く。
G の元 a と整数 n に対して G の元を定める演算
a∧n を、以下のように定義する。
[1]　a∧1 = a,
[2]　a∧(n+m) = (a∧n)＊(a^m).
この２式によって、a∧n は矛盾無く定義され、
G の任意の元 a について a∧0 = e が成り立つ。

群の単位元を 1 と書くことは普通に行われているから、
e を 1 と書いてもよいし、
G の元に 0 と名づけられたものがあっても構わない。
ただし、それらを整数 1 や 0 と混同しなければの話。
混同の恐れがあれば、添え字で区別して
1_G, 0_G のように書くのが、代数の教科書の習慣。
ともあれ、これで 0∧0 = 1 と書くことができた。

群 (G,＊) が、質問文中の (X,*) であっても
何の問題も無い。ここで示された 0∧0 = 1
式中の各記号が何を意味しているのか、X に即して
確認しておくといい。

私は、今回の X なら、元の名前を 0 → -1
と付け替えたほうが、解りやすいと感じるが…
X の + は、今回、定義しっぱなしでその後
登場していないから、「加法単位元」に注目する
理由は特に無いし、後で + を使うにしても、
X では分配法則が成立していないから、
二つの演算の一方を「乗法」と呼ぶ理由が無い。

例によっていつもの、そう定義しても構わないが、
そうしなければならない必然性は何も無い
…という議論になっている。

さて、その上で、今回の成果が
懸案の実数での a^p の話とどう関連してゆくのか…

この回答へのお礼

> 例によっていつもの、そう定義しても構わないが、
> そうしなければならない必然性は何も無い
> …という議論になっている。

私の活動は
・0^0=1 と定義しても問題ないこと
・0^0=0 と定義すると問題あること
を示すことであり、その裏付けとなる考えが正しいか質問で確認を行なっています。

もしこれを超えて、「0^0=1 と定義しなければならない」と考えるとしたら、
それは私個人の考えであって、あるいは「そう定義しても構わない」と知った人の感じることです。
そして、それは個人の好みの問題に過ぎません。

「そう定義しても構わないが、そうしなければならない必然性は何も無い」と言われるのなら、
私は目的を達していると思うし、あなたは私の目的が達成されていないと思うのでしょう。
同じ事実なのに、結論が異なると感じるのは、不思議ですね。

> さて、その上で、今回の成果が
> 懸案の実数での a^p の話とどう関連してゆくのか…

実数の前に、有理数で考えなければいけません。
０が有理数であるのなら、１／０も有理数（の拡張）ですからね。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/15 20:30

No.4 回答者： tsukita 回答日時： 2013/03/13 19:39

Ans#3です。

>また、体の吸収元の０に“準じたもの”という意味も今回の質問で理解が進みました。
“準じたもの”とは、“本来備わっているべき性質を少し緩くしたもの”という意味で用いました。
０との積について
　０*ａ＝０　（ａが０以外のとき）
　０*０＝１
と、０の積を０*０のみ（たったこれだけ）本来の演算とは違うものにしたという気持ちを込めたつもりですが、０*０＝０を否定することは根底から０を崩壊させることでもあり、したがって、０*０＝０を捨てた時点で“準じる”とは呼べないのかもしれません。

上記、ひとこと、添えさせて頂きます。また、私はあなたがやろうとしていることを否定するつもりはありません。数学界におけるパラダイムシフトに、生きている間に多く触れたいものです。

この回答へのお礼

> ０*０＝０を否定することは根底から０を崩壊させることでもあり、したがって、０*０＝０を捨てた時点で“準じる”とは呼べないのかもしれません。

それは、呼べないと思います。

０除算が自由にできる乗法というのは、実は加法になるようです。
今回の加法と乗法の間でも、
a*b=a+b-1
が成立します。

これでよければ、いくらでも０＾０＝１とはできますが、加法と同じものを乗法とは呼べません。
したがって、そもそも０*０＝０を捨てる理由がありません。
今回のように、元が２つなら、０*０に１を割り当てるしかありませんが。

> 私はあなたがやろうとしていることを否定するつもりはありません。
> 数学界におけるパラダイムシフトに、生きている間に多く触れたいものです。

私がやろうとしていることは、「０＾０＝１と定義する」ことであり、
「0＾０＝１と証明する」ことではありません。
後者はできないことだと考えており、前者はできることだと考えています。

今回のことも、その延長線上で何か成果があったとしても、それは変わりません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/13 23:57

No.2 回答者： tsukita 回答日時： 2013/03/13 10:11

Ans#1です。

>0*0=1
見落としていました。
「体の公理」に付随しては、
結合法則も成り立つと言えるかもしれませんね。

しかし、です。

この代数系({0,1},+,*)は、２つの元を０と１とで“表記”しただけであり、
この２つの元を○や●と表しても問題ないでしょう。

つまり、
> ０＾０が未定義なのは、体に固有の問題であり、
> 分配法則が成立しない代数系では、０＾０＝１となることがある。
とありますが、“１”や“０”は、体や、体のにおける１や０が意識されるから
意味があるということです。


上記の例では、１は乗法の単位元に類似していますが、
０については、体の“０”は意識されないものであり、
“０”と表記することが相応しいのか疑問です。
今回の代数系と、体における０＾０とを対応づけることに無理があります。

この回答へのお礼

> この代数系({0,1},+,*)は、２つの元を０と１とで“表記”しただけであり、
> この２つの元を○や●と表しても問題ないでしょう。

それは、その通りです。

> “１”や“０”は、体や、体のにおける１や０が意識されるから
> 意味があるということです。

加法の単位元という意味で０という表記を使っています。
乗法の単位元という意味で１という表記を使っています。
多分、それぞれ単独では問題ないと思われます。

ただし、乗法で０を使った場合、あなたが言われるように、
吸収元であるという前提と共に使われています。

では、体以外を扱う場合にもそのルールに従わなければならないのかと言うと、
それはあまりにも厳しすぎるのではないでしょうか？

私は、体以外を定義すると明記しています。
２つの演算を定義し、区別しやすいように加法＋、乗法＊と表記しました。
加法、乗法のそれぞれで、単位元を０、１と表記することは許されています。
これが許されないのなら、独自の記号ばかりの分かり難い議論になってしまいます。

私としては、体ではないと明記する限り、吸収元ではない０は許されると考えます。
そうでないと、体を拡張して体でないものを定義しようとした時、０という表記が許されなくなります。
それはあまりにも不便です。

> 今回の代数系と、体における０＾０とを対応づけることに無理があります。

そういう意図はありません。
体より範囲を広げた、２つの演算が定義された状態で、０＾０がどうなるか考察してるに過ぎません。

私の目的は、体を拡張した場合に０＾０＝１となるものが存在するか考えることであり、
その準備として、簡単なものから考えてるに過ぎません。
体と対応づけるには、部分集合が体をなしている必要があると考えます。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/13 12:47

No.1 回答者： tsukita 回答日時： 2013/03/13 03:38

> ・乗法単位元は1で、1/0=0, 1/1=1 となる。

　←1/0=0 の部分
> ・分配法則は成立しない。

の２点がわからない。

位数２の有限体とは違うものを考えてる？

この回答へのお礼

> 位数２の有限体とは違うものを考えてる？

F_2 と呼ばれる有限体を指しているのならば、違います。
体にするには、0*0=0 と定義されていなければなりません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/03/13 08:34