連続梁の反力の算出がうまく出来ません・・・。

現在、図のような等分布荷重を支えるブラケットを製作する予定なのですが、反力の算出ができずに困っております。

新機械工学便覧の連続梁の支点反力や、ネット上での連続梁の反力の算出方法等を色々探してみたのですが、R3の位置で梁と荷重が終了しているのであれば、算出できるのですが、はねだし（と呼ぶのかどうかわかりませんが・・・）の部分が、R3地点より右側に存在するため、どのように処理をしてよいものなのかわかりません。

機械工学便覧の支点反力の算出の項から、R1～R3間の2スパンでR2の反力は算出可能なのですが、R3より右側にも荷重があるため、3スパンとして考えるものなのかどうなのかもわかりません。

このような梁の反力の計算をするにはどのようにしたら良いのでしょうか？

自力でなんとか理解しようと、色々と調べては見たのですが、いよいよ困ってしまい、ぜひ皆様方のお知恵を拝借出来ればと思い質問させて頂きました。

図では記されていませんが、実物はR1部分が回転運動ができる支点となっており、R2,R3部分にかなり強力なスプリングが入り、等分布荷重の部分に断続的に重量がかかるという構造物です。

説明が足りない部分もあるかと思いますが、どうぞお知恵を拝借いただければと思います。

よろしくお願いいたします。

No.1 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/03/16 23:23

　R1→R3の途中からR3まで「だけ」の荷重状態の計算が可能なら、R3→右端「だけ」の荷重状態の計算ができれば、両方の結果を足すだけなんですが・・・。

後半のやり方は、新機械工学便覧には載っていませんか？。

　・・・載っていないと想定して、直接計算する方法を示します。ただし、断続的重量とバネ支点（スプリング）の事は、ここでは簡略化のために無視します。


　連続梁（不静定構造の一種）を解く一般的な方法は、概ね次の4つです。

　　(1)梁の曲げ微分方程式。
　　(2)たわみ角法。
　　(3)カスティリアノの最小働定理。
　　(3)仮想働の原理。

　(2)は、今では余り講義されないと思いますので、やめます。(3)と(4)は、ここで説明するのは難儀なので、(1)を採用します。

　部材の断面2次モーメントIは、もちろん計算できますよね？(^^)。Eを材料の弾性係数（ヤング率）とします。等断面として扱います。

　(1)の曲げ微分方程式は、例えば左端から座標xを横にとって、梁の各部分xの変位をw(x)で表せば、

　　EI・d^4w/dx^4＝q(x)　　　(a)

てのは、ご存知だと思います。q(x)は、梁に対する横荷重の線密度で、等分布荷重なら一定です。

　(a)を連続梁に適用する場合、支点においてせん断力が不連続にジャンプしますので（梁理論では）、支点で梁を分割し、それぞれに(a)を適用するのが基本です。今の場合正直にやれば4スパンになりますけれど、左端→R1には荷重がないので、左端→R1のスパンは無視しても計算可能です。必要なら後から、いくらでも計算できます。

　R1→R2，R2→R3，R3→右端のスパンをそれぞれ、Sp-1，Sp-2，Sp-3とでも呼び、そのそれぞれに対して(a)を計算します。q(x)がわかってますから、可能ですよね？(^^)。結果を、w1(x)，w2(x)，w3(x)としますが、(a)は4階の微分方程式なので、未定の積分定数が12個出てきます(^^；)。そいつらを決めれば良い訳です・・・(^^；)。

　決めるために境界条件を考えます。たわみ角，曲げモーメント，せん断力を、Ｔ，Ｍ，Ｓで表します。

(4)R1，R2，R3は支点なので、

　　1)w1(R1)＝0
　　2)w2(R2)＝0
　　3)w3(R3)＝0
　　※w1(x)，w2(x)，w3(x)には、それぞれ4個ずつ未定乗数が含まれる．

(5)R1で、曲げモーメントＭは明らかに0なので、

　　4)Ｍ1(R1)＝0
　　※Ｍ1(x)は(4)より、4個の未定乗数を含んだ形で、具体的に計算できる．

(6)R2で、たわみ角Ｔと曲げモーメントＭは連続なので、

　　5)Ｔ1(R2)＝Ｔ2(R2)
　　6)Ｍ1(R2)＝Ｍ2(R2)
　　※Ｔ1，Ｔ2，Ｍ1，Ｍ2(x)は同様に(4)より、4個の未定乗数を含んだ形で、それぞれ具体的に計算できる．

(7)R3でも同様、

　　7)Ｔ2(R3)＝Ｔ3(R3)
　　8)Ｍ2(R2)＝Ｍ3(R3)
　　※同様．

(8)右端では、曲げモーメントＭとせん断力Ｓが明らかに0なので、

　　9)Ｍ3(右端)＝0
　　10)S3(右端)＝0
　　※同様．

　・・・自明な条件はこれだけです。残り、あと2つ条件があれば良い。

　ここで構造系全体の釣り合い方程式を思い出します。じつは構造力学では構造系全体の釣り合い方程式と支点反力の関係が、常に基本になるんです。

(9)R1，R2，R3における鉛直反力を、F1，F2，F3とすれば、

　　11-1)F1＝±S1(R1)
　　11-2)F2＝±(S2(R2)－S1(R2))
　　11-3)F3＝±(S3(R3)－S2(R3))
　　※±は、せん断力の向きの定義による．
　　※S1，S2，S3(x)も、w1，w2，w3(x)から、未定乗数を含む形で具体的に計算できる．

　(9-1)鉛直力の釣り合いより、

　　　11-4)F1＋F2＋F3＝q(x)の合力

　(9-2)力のモーメントの釣り合いより、

　　　11-5)［F1，F2，F3によるモーメント］の合力＝［q(x)によるモーメント］の合力

　(9-3)
　　11-1)～11-5)を通しで眺めると、Ｓ1，S2，S3に対する、すなわち12個の未定乗数に対する、「正味2個の条件式」なのがわかりますが・・・(^^；)。・・・が・・・、くっ、苦しい、絶対やりたくない・・・(^^；)。


　・・・と言う訳で、未定乗数12個に対して12個の条件式は一意に定まり、w1，w2，w3(x)は計算出来て、11-1)～11-3)により支点反力まできっちり決まります。このように構造力学の系は、地道に頑張れば常に解けます。


　・・・が！、正直言って、このような方法は自分は採用したくありません。

　出来れば、カスティリアノの定理か、仮想働の原理の「使い方」をマスターして下さい(^^；)。

この回答へのお礼

親切丁寧なご回答をいただきまして誠にありがとうございます。

やはり簡単には算出できないんですね。

独学で勉強したものですので、理解できない用語なども存在しているのですが、とても丁寧に説明をしていただきまいしたので、まずは ddtddtddt さんのご説明いただいたことを理解できるように再度取り組んでみます。

またつまづきましたら、お知恵を拝借させていただくと思いますので、その際はまたご指導のほどお願い致します。

ほんとうにありがとうございました。
今後共よろしくお願いいたします。

お礼日時：2013/03/19 11:45

No.2 回答者： foomufoomu 回答日時： 2013/03/19 09:42

支点がばねだと、はねだしがない場合の計算も簡単には出ないはずですが・・・便覧にはばね付きの式まで載っていたのでしょうか？

概略の結果でよいなら（ばねを無視して概略の答えを使っているなら）、はね出し分によるモーメントは

１．はねだし部分（片持ち梁）のR3点のモーメントを求める(M3とします)
２．R2点には-1/2M3のモーメントが発生する。(M3の半分で向きが逆)
３．R1点はモーメントはゼロ。

これを直線でつないだモーメント図になります。