「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

xy 面上の曲線C: ζ(t) =(x(t) , y(t))=(R(t - sin t) , R(1 - cos t))
(0 ≤ t ≤ 2π) を考える.
(1) 曲線C はサイクロイドと呼ばれる. 媒介変数t の幾何的意味を明らかにしつつ, 曲線C を図示せよ.
(2) 原点O から媒介変数の値がt となる点までの弧長s(t) を求めよ.
(3) 弧長s(t) の逆関数t(s) を求め, サイクロイドC を弧長s で媒介変数表示せよ.
(4) 弧長パラメータs をもちいた曲率の定義に従い, サイクロイドC の曲率κ(s) を求めよ.
(5) 弧長パラメータを経由することなく, もとの媒介変数t で曲線C の曲率を求め, それが前小問の結果と一致することを確かめよ.

教えてください。

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A 回答 (7件)

ANo.5の続き



(4)
ANo.5の参考URLの一番目より
曲率κ=±√{(d^2x/ds^2)^2 + (d^2y/ds^2)^2}
であるから

(3)より
t=2*arccos(1-(1/4)(s/R))
dt/ds=(1/2)(1/R)/√{1-(1-(s/(4R)))^2}=2/√(s(8R-s))
x=R(t-sin(t)),
dx/dt=R(1-cos(t))
y=R(1-cos(t))
dy/dt=Rsin(t)
dx/ds=(dx/dt)(dt/ds)=(1/4)(1/R)√(s(8R-s))
d^2x/ds^2=(1/4)(1/R)(4R-s)/√(s(8R-s))
(d^2x/ds^2)^2=(4R-s)^2/(s(8R-s)(16R^2))
dy/ds=(dy/dt)(dt/ds)=(4R-s)/(4R)
d^2y/ds^2=-1/(4R)
(d^2y/ds^2)^2=1/(16R^2)

κ=±√{(4R-s)^2/((16R^2)s(8R-s))+1/(16R^2)}
=±1/√(s(8R-s))
(途中計算は長くなるので一部省略しました。)

(5)はまた後で。
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(1)(2)(3) それでよい。


(4)(5) は、ヒントどおりに計算できなかった?
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(1)


媒介変数t の幾何的意味
軌跡をxy座標で表すと
(x-tR)^2+(y-R)^2=R^2
これは
x軸上を転がる円(半径R、中心(tR,R)
の円であるから、tは円の中心のx座標が速度Rで移動する時間(媒介変数)を表すパラメータと言える。

(2)
s(t)=∫[0,t} √{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}dt
=R∫[0,t} √{(d(u-sin(u))/du)^2+(d(1-cos(u))/du)^2}du
=R∫[0,t} √{(1-cos(u))^2+(sin(u))^2}du
=R∫[0,t} √{2-2cos(u)}du
=R√2∫[0,t]√(1-cos(u))du
(途中省略)
=4R(1-cos(t/2))

(3)
t=2*arccos(1-(1/4)(s/R))

取り敢えずここまで。
余り、他力本願だけに頼らないで、自身でも自力でやって補足に書くようにしてください。その上で分からない所がでてきたら、わからない箇所を補足で質問してください。

(4),(5)
参考URL
ttp://21.xmbs.jp/shindou-263424-ch.php
ttp://sshmathgeom.private.coocan.jp/diffgeom/curvature.html
ttp://school.gifu-net.ed.jp/ena-hs/ssh/H23ssh/sc2/21111.pdf
ttp://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/Curvature/

参考URL:http://21.xmbs.jp/shindou-263424-ch.php
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(1)


「t の幾何的意味を明らかにしつつ」は、出題者の態度があまり良くないけれど、
サイクロイドであることがネタばらしされているから、できないことはないはず。
ベクトルで考えると見通しが良くなるので、
(x, y) = R(t, 1) - R(sin t, cos t) を睨んで、
これがサイクロイドと何の関係を持つか考えてみよう。
t の幾何的意味は、そこから見つかるはず。

(2)
これは、公式どおり、型どおり。
s(t) = ∫ √{ (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 } dt, ただし s(0) = 0.
計算する。

(3)
単に式変形。

(4)
これも、公式どおり、型どおり。
「弧長パラメータ s をもちいた曲率の定義」を知ってるかどうかだけかな。
κ = √{ (d^2x/ds^2)^2 + (d^2y/ds^2)^2 }.
(3)の結果、t が s で表されているから、
合成関数の微分によって、これが計算できる。

(5)
「弧長パラメータを経由することなく」も、やはり、出題者の態度が良くない。
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/Curvature/
↑の図2のような幾何的考察をしてもよいが、
(4)とは逆に、(2)を使って公式から s を消去して求めても
いいのではないかと思う。(結果の一致は自明だが。)
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媒介変数を弧長に直してから処理するのは微分幾何の基本的な手順なので


方法は教科書にそのまんま載ってるはず。
それを見ながら、見なくてもよくなるまで数をこなすべきなのがこの演習なんで、
人にやってもらったら意味ないです。
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>Rの説明がないけど、何ですか?



転がる円の半径。
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質問


Rの説明がないけど、何ですか?
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Q弧長パラメータとは何?

弧長パラメータは、長さ関数の逆関数によってパラメータ変換することによって得られるそうですが、何故そうやって求められるのでしょうか?そもそも、弧長パラメータの概念が今一つ分からないです。

例えば、
x(t)=(asint,acost,bt)
の曲線があるとして、
これの長さ関数は
x'(t)=(acost,-bsint,0)より
int(0,t)||(x'(t))||dt
=int(0,t)sqrt(a^2+b^2)dt
=sqrt(a^2+b^2)t
より、t=x/sqrt(a^2+b^2)
ですから、x(t)の弧長パラメータ表示関数は、
x(s)=(asin(a/sqrt(a^2+b^2)),acos(s/sqrt(a^2+b^2)),
bs/sqrt(a^2+b^2))
となると解釈して宜しいのでしょうか?

分かる方がいましたら、回答宜しくお願いします。

Aベストアンサー

#1のKENZOUです。パソコンの調子がおかしくなり(←今もおかしいので古いのを使っている),レスが遅れました。

>長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
 r(t)=(x(t),y(t),z(t))
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと,それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
 dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
 s=∫[0,t]|dr/dt|dt
つまりsはtの関数となります(←当たり前か)。時間tと共に距離sは(途中で止まることが無ければ)単純に増加していきますので,sはtの単調増加関数ということになり,tをsの関数として書くことが可能ですね。この結果
 r=r(t)=r(s)=r(x(s),y(s),z(s))
と表すことができます。つまり曲線rをパラメータsを使って表すことになりますので,このsを孤長パラメータと呼んでいます。

>tの関数をsの関数に変換したといったことになるのでしょうか?
仰る通りと思います。

#1のKENZOUです。パソコンの調子がおかしくなり(←今もおかしいので古いのを使っている),レスが遅れました。

>長さ関数=弧長パラメータということでしょうか?
その通りと思います。
物理的イメージから迫って見ましょう。
 r(t)=(x(t),y(t),z(t))
を時間tのときの点の位置を表す位置ベクトルとしますと,それを時間で微分したdr/dtは点の速度ベクトルとなります。
 dr/dt=(dx/dt,dy/dt,dz/dt)
この点の軌跡の長さはt=0からt=tまでの間に動いた距離ですからそれをsとすると
 s=∫[0,t]...続きを読む

Qサイクロイドと曲率円の中心

サイクロイドx(t)=a(t-sint),y(t)=a(1-cost)の曲率円の中心の描く図形を求める(tは0≦t≦4πの範囲)という問題です。

サイクロイドがどうであっても、曲率円は結局円なので、
その中心の描く図形はx軸と平行の直線になってしまう気が
するのですが、どこを勘違いしているか教えていただけると嬉しいです。

Aベストアンサー

>その中心の描く図形はx軸と平行の直線になってしまう気が
するのですが
正確な図を描けば分かりますが、直線にはなりませんよ。
tの飛び飛びの値について調べても明らかです。
曲率円の中心(xo,yo)のy座標yoは、xoが0~4πまで移動すると、 -2≦yo≦0 の範囲を周期的に上下に移動します。

>どこを勘違いしているか教えていただけると嬉しいです。
やられた計算等を補足に書いて頂かないと、勘違いかどうか分かりません。

計算する場合は下記URLを参考に計算してみてください。
ただし、計算は簡単ではありません。また中心座標の描く曲線も単純ではありません。
http://www13.atwiki.jp/ookubo?cmd=upload&act=open&pageid=32&file=%E6%9B%B2%E7%8E%87.pdf

参考までに中心座標の描く曲線の図(水色の曲線)を添付しておきます。
黒線がサイクロイド曲線です。
参考

Q曲率の求め方

2次元で、3点(X1,Y1), (X2,Y2), (X3,Y3) が既知のとき、
これらの点を通る円の曲率の求め方を教えて頂けないでしょうか?また、3次元で4点がわかっている時の求め方も教えて頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

2次元の場合の曲率ρは,3点A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3)で作られる三角形の外接円の半径Rの逆数を求めればいいので,正弦定理より,
ρ=1/R=2sinA/|BC|
を利用して求めるといいでしょう.ここでsinAの値を求めるにはいくつかやり方があるかと思いますが,ここでは簡単に2次元ベクトルの外積を利用して,
|AB↑×AC↑|=|AB||AC|sinA
から求めてみます.左辺は
AB↑×AC↑=(OB↑-OA↑)×(OC↑-OA↑)=OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA↑
と変形できますので,曲率ρは,
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と表すことができます.ここで具体的に座標の値を入れてあげると,
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より,最終的に
ρ=2|X1Y2-X2Y1+X2Y3-X3Y2+X3Y1-X1Y3|/√[((X1-X2)^2+(Y1-Y2)^2)((X2-X3)^2+(Y2-Y3)^2)((X3-X1)^2+(Y3-Y1)^2)]
となります.

3次元になると,一般化の計算は何か上手い方法を見つけないと大変でしょうね.^^

2次元の場合の曲率ρは,3点A(X1,Y1),B(X2,Y2),C(X3,Y3)で作られる三角形の外接円の半径Rの逆数を求めればいいので,正弦定理より,
ρ=1/R=2sinA/|BC|
を利用して求めるといいでしょう.ここでsinAの値を求めるにはいくつかやり方があるかと思いますが,ここでは簡単に2次元ベクトルの外積を利用して,
|AB↑×AC↑|=|AB||AC|sinA
から求めてみます.左辺は
AB↑×AC↑=(OB↑-OA↑)×(OC↑-OA↑)=OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA↑
と変形できますので,曲率ρは,
ρ=2|AB↑×AC↑|/|AB||AC||BC|=2|OA↑×OB↑+OB↑×OC↑+OC↑×OA...続きを読む

Qサイクロイド 一般式の求め方

よろしくお願いします。

サイクロイドの一般式は、半径をr,初め原点oにあった点pに対して、円がθ回転したときのpの座標を(x、y)としたとき、
x=a(θ-sinθ), y=a(1-cosθ)
と表されるとあります。

ですが、この一般式の求め方を参考書にもテキストにも載っていません。

ヒントとして、円の中心をcとして、OA=弧AP(Aは円とX軸の接点)よりOC=(aθ,a), CP=a(-sinθ, -cosθ)となるため。

とありましたが、私はよくわかりませんでした。
そこでネットでサイクロイドの媒介変数表示などで、検索したのですが、どれも、この一般式は書いているのですが、その求め方を書いていませんでした。

そこで質問なのですが、サイクロイドの一般式の求め方を書いたページはありませんでしょうか。

どなたかご存知の方があれば、教えてくださ。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

図を描いて考えてみればわかるかと思います。
円がx軸上を120°くらい転がった図がいいかな。一つ描けば十分だと思います。

サイクロイド曲線はx軸の上を円が転がっていくとき、円周上の点Pの奇跡ですよね。
そのPのx,y座標をどれだけ回転したかという量θで表せればいいわけです。

そのために必要な考えは幾つかあります。
・円はx軸上を滑らずに転がっていく。
(回転しただけ進むし、逆に進んだ分だけ回転してることになる)
・扇形の弧の長さの公式。
(半径r,中心角θのとき弧長l=r*θ)
・円周上の座標の求め方。
(補助線を引きましょう。円周上の点Pと円の中心Cを結んだり。適当な場所に垂線を下ろしたり)

これらのことをふまえて図中に直接値を書き込んで見ましょう。例えば円の中心がx軸方向に進んだ距離をθで表した量などを。

Q時空図における世界線と同時刻線について

以下の掲示板(既に閉鎖済み)の書き込みの説明にわからない点があるので教えて下さい。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/5814/material2004_12_c.html

>物体の等速直線運動は、このグラフ上では傾いた直線として表わされます。
>これを世界線と言います。
>速度が大きくなるほど、世界線の傾きの角度は大きくなります。

まずはこの世界線とは何なのか?というと
時間が経過するごとにどれだけの距離を進むのかを表わしたグラフ上の直線のことですよね?

>物体が静止している場合、世界線は垂直(時計で言うなら0時と6時を結ぶライン)

静止した物体の世界線は0m地点なら時間軸の直線に重なって時間が経過するだけだということですよね?
しかし!

>その同時刻線は水平(時計で言うなら3時と9時を結ぶライン)になります。

この同時刻線とは何なのでしょうか?
なぜ静止した物体の同時刻線は水平になるのですか?
水平の同時刻線はグラフ上のどの部分に引かれるのですか?
横軸の空間の直線に重なるのでしょうか?

>物体が光速に近づいたとします。
>仮に角度が垂直から30度傾き、1時と7時を結ぶラインになったとします。
>すると同時刻線は2時と8時を結ぶラインになります。

この場合もなぜ同時刻線は2時と8時を結ぶラインになるのですか?

>分かりやすくするため、光速を45度ということに決めます。

ちなみに光速の世界線と同時刻線は両方とも45度なのでしょうか?

よろしくお願いします。

以下の掲示板(既に閉鎖済み)の書き込みの説明にわからない点があるので教えて下さい。
http://www.geocities.co.jp/Bookend-Soseki/5814/material2004_12_c.html

>物体の等速直線運動は、このグラフ上では傾いた直線として表わされます。
>これを世界線と言います。
>速度が大きくなるほど、世界線の傾きの角度は大きくなります。

まずはこの世界線とは何なのか?というと
時間が経過するごとにどれだけの距離を進むのかを表わしたグラフ上の直線のことですよね?

>物体が静止している場合、世界...続きを読む

Aベストアンサー

「同時刻線」ってのは, その物体から見たときに「同じ時刻である」という時空図上の点の集合として表される線のこと. 静止した物体の同時刻線が水平になるというのは, 「静止した物体から見るとどの地点においても時刻 t で起きる事象は時刻 t に起きたと観測される」という意味です.
で, 物体の速度があがると, 静止した物体からは「同じ時刻に起きた」と観測される事象であっても位置 (x) が違うと「異なる時刻に起きた」と観測されるようになります. その結果同時刻線は水平ではなくなります. 等速度運動なら直線のままではありますが.
ついでにいうと, 普通時空図は光の世界線が 45度の傾きを持つように描きます. これと「光速度一定」から「等速度運動する物体においては世界線と同時刻線が 45度の傾きを持つ直線に対して対称の位置にくる」ことが示されます.

Qヤング率の単位について

MKS単位系では、N/m^2(ニュートン毎平方メートル)ですがこれをCGS単位系dyne/cm^2に変換したいんですが、1N/m^2=何dyne/cm^2になりますか?お教え願います。
できれば、簡単でいいので、途中式も示していただきたいです。

Aベストアンサー

1[N]=10^5[dyne]
1[m]=10^2[cm]⇒ 1[m^2]=10^4[cm^2]

です。よって、

1[N/m^2]=10^5/10^4[dyne/cm^2]
=10[dyne/cm^2]

となります。
 ヤング率の単位は[GPa]で表記されていることが多いので、[N/m^2]=[Pa]より

1[GPa]=10^10[dyne/cm^2]

と覚えておくと便利です。

Q楕円の曲率について

楕円の曲率を計算してみたのですが、
曲率が一番大きな箇所・・・長径の端点
曲率の最も少ない箇所・・・媒介変数表示による角度で大体45°を超えた
             あたり
の結果がでました。短径の端点が曲率最小とならなかったのが不思議です。
計算結果を検証する方法はないでしょうか。作図でも構いません。
URLのご提示でも構いません。

Aベストアンサー

質問者さんの結論は正しくないようですね。
以下で検証してみてください。
●楕円の任意点での作図法
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/daen,,,no,,,kyokuritsuhankei1.html

●曲率中心の軌跡を縮閉線(エボリュート)といい,縮閉線に対してもとの曲線(今の場合楕円)を伸開線(インボリュート)といいます.縮閉線の接線は伸開線の法線ですから,これら2曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります。曲率半径の逆数が曲率です。楕円の場合楕円の式は
  (x/a)^2+(y/b)^2=1…(1)
この縮閉線は次のようになります(参考URL)。
  (ax)^(2/3)+(by)^(2/3)=(a^2-b^2)^(2/3)…(2)
a,bに具体的な値を入れて2曲線を作図して(2)の法泉を引いて曲率半径を図れば確認できます。
楕円の曲率半径は計算で出ますよ。

2a=長径、2b=短径(a>b)、とすると、
x = acos(t), y = bsin(t), t:真円の場合の角度(rad単位)
曲率:k = ab / (a^2 sin(t)^2 + b^2 cos(t)^2)^(3/2)
曲率半径:R = 1 / k
で曲率半径:Rが計算できます。ここで、x = acos(t), y = bsin(t)
t=π/2(90度)のとき、k2=b/a^2(最小曲率)、R2=a^2/b(最大曲率半径)
t=0のとき、k1=a/b^2(最大曲率), R1=b^2/a(最小曲率半径)
t=π/4(45度)のとき、k4=ab(2√2)(a^2+b^2)^(-3/2), R4=(a^2+b^2)^(3/2)/{ab(2√2)}

となります。a=2,b=1の場合計算してみると
R2=4 ,k2=1/4=0.25,
R1=1/2=0.5 ,k1=2,
R4=(5/8)√10=1.9764…, k4=(4/25)√10=0.5059…
となります。

参考URL:http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/243_daen.htm

質問者さんの結論は正しくないようですね。
以下で検証してみてください。
●楕円の任意点での作図法
http://www.k3.dion.ne.jp/~edo-cad/daen,,,no,,,kyokuritsuhankei1.html

●曲率中心の軌跡を縮閉線(エボリュート)といい,縮閉線に対してもとの曲線(今の場合楕円)を伸開線(インボリュート)といいます.縮閉線の接線は伸開線の法線ですから,これら2曲線の間で測った長さは伸開線の曲率半径になります。曲率半径の逆数が曲率です。楕円の場合楕円の式は
  (x/a)^2+(y/b)^2=1…(1)
この縮...続きを読む

Qプランク定数を測定する実験に関して

プランク定数を求める際に以下のサイトでは次のような注意を促しています。
「分光系の感度が520nm 付近で高いため,これより長波長側ではわずかに短波長側の散乱光の影響を受けることがある。よって,539nm〔-2°〕より長波長側では付属の色ガラスフィルター(0-54)をホルダーに挿入して使用すること。」
なぜ「分光系の感度が520nm 付近で高いため,これより長波長側ではわずかに短波長側の散乱光の影響を受けることがある」のか、そしてなぜ「フィルターによってそれを防止できる」のかわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか?
http://www.shigaec.ed.jp/kagaku/05shisets/katsuyo/kiki_phys_10.pdf

Aベストアンサー

>「分光系の感度が520nm 付近で高いため,これより長波長側ではわずかに短波長側の散乱光の影響を受けることがある」

この記述は、ごく、当り前のことを述べているだけです。この分光系の感度のピークが520nmですから、これより長波長の光を取り出そうとした場合、どうしても、短波長の成分が混じってしまいます。ですから、短波長の成分をカットするような、フィルターが必要なのです。

Q相対性理論: 固有時について

(特殊)相対性理論で出てくる固有時についての質問です。
固有時はどの座標系から見ても等しいということですが、

A.1つの物体に着目したとき、その物体の固有時はどの座標系から見ても等しい
B.1つの物体に着目したときの固有時と、他の物体に着目したときの固有時は等しい

どちらでしょうか?
ここでいう物体は、物体に付随する座標系と読み替えてもらってもかまいません。

Aベストアンサー

「そこ」の絶対時間を固有時と言うのでしょ?
他の物体は「そこ」には無いでしょ?

Q単位法線ベクトルの問題なんですが。。。

曲面 4x^2y+z^3 = 4 上の点P(1, -1, 2)における単位法線ベクトルnを求めよ.

という問題です.

他の質問を見てf = (x,y,z) = 4x^2y+z^3-4
とするのはわかったのですがgradfがわからないです。。。

Aベストアンサー

未消化のgrad fを使わなくても以下のように出来ます。
いずれにしてもただ丸写しするのではなく教科書や講義ノートや参考書など
を復習して基礎的なことを勉強して、理解するだけの自助努力が大切です。

f(x,y,z)=4(x^2)y+z^3-4=0

全微分して
 8xydx+4(x^2)dy+3(z^2)dz=0

点P(1,-1,2)の座標を代入
 -8dx+4dy+12dz=0
 4(-2,1,3)・(dx,dy,dz)=0
法線ベクトル:±(-2,1,3)
 |(-2,1,3)|=√(4+1+9)=√14
単位法線ベクトルn=±(-2,1,3)/√14


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