いろいろな公式

y=sinx+sin(x+π/3) の値域を求める問題です。

加法定理から、積和公式を用いて…
y=2sin(x+1/6π)cos(-1/6π)
までは求めることができました。
ここからどうしていいのか分かりません。

教えてください…

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/06/21 21:06

>加法定理から、積和公式を用いて…

積和公式ではなく、単純に和積公式を使う問題です。
sin A+sin B=2sin((A+B)/2)cos((A－B)/2)
この公式位、覚えておいても良いでしょう！

参考URL；積和公式とその証明
ttp://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sankakukansuu/kahouteiri/wa-seki-no-kousiki.html

和積公式で、A=x+(π/3),B=xとおけば
y=sin(x+π/3)+sin(x)
=2sin(x+(π/6))cos(π/6) ...(1)

cos(-π/6)=cos(π/6)なので質問者さんの導出式と同じですね。

三角関数の主要角と三角比は教科書にも乗ってるし、暗記させられたと思います。(30°=π/6,45°=π/4,60°=π/3,90°=π/2,180°=πの時のsin,cos,tanの一覧表)
それによれば
　cos(π/6)=√3/2 ...(2)

なので、yの式(1)に(2)を代入すれば

y=2sin(x+(π/6))(√3/2)
　=(√3)sin(x+(π/6))　...(3)

xが任意の実数または0≦x<2πの範囲の値をとる時
sin(x+(π/6))の値域は-1≦sin(x+(π/6))≦1 ...(4)
であるから
(3)よりyの値域は√3倍すれば良いですね。

∴yの値域：-√3≦y≦√3

となります。

お分かり？

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/06/21 18:50

y=sinx+sin(x+π/3) = sin(x + π/6 - π/6) + sin(x + π/6 + π/6)

=2sin(x+π/6)cos(π/6) = √(3)sin(x+π/6)

よって -√(3)～√(3)

No.1 回答者： INF-B 回答日時： 2013/06/21 18:34

sin(x+π/3)=sinxcos(π/3)+cosxsin(π/3)

としてみては？