高校物理 近似

大学入試で, c≫vのときv/(c-v)を近似せよ といわれたら
(1)c-v≒cとして v/c
(2)v/(c-v)=(v/c)*{1/(1-v/c)}≒(v/c)*(1+v/c)
の2通りがあり, (2)の方がより精密だと思うのですが, 
1≫εのとき (1+ε)^n≒1+nε
が与えられていなければ(1)も許されるのでしょうか？

No.3 ベストアンサー 回答者： htms42 回答日時： 2013/08/02 08:08

ｖ/(ｃ－ｖ)　と　(ｖ/ｃ)(１＋ｖ/ｃ)

これは全く別の式です。
ｖ／ｃ＜＜１という近似を使えばこの２つの表現による違いがなくなるということです。
近似はどちらに対してもあてはめないといけません。
１＋α　であれ　１－α　であれ　１に対して　α　が無視できるのであれば　どちらも１になるのです。
この式以外でも一連の考察の中で出てくる式すべてに対してあてはめないといけません。
もしα＝０．０１であれば９９と１０１の違いを無視するということですから有効数字はせいぜい２ケタしかないという計算をするという条件が全体に対して生じることにもなります。

＞ (2)の方がより精密だと思うのですが,
これは片方だけに近似を当てはめて、他方はそのままにするという扱いを考えていることになりますね。

No.2 回答者： uen_sap 回答日時： 2013/08/02 05:18

？？？

近似ですよね

v/(c-v)と(v/c)*(1+v/c)=v*(c+v)

とに差がありますか・・・近似したことにはなってないのではないですか？

v/cで十分・・許されるかどうかではなく、近似と言えば、これしかないのでは

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/08/01 22:24

>c≫vのときv/(c-v)

v/c=x,v/(c-v)=yとおくと

y=(v/c)/(1-v/c)=x/(1-x)=x(1+x+x^2+x^3+....)=x+x^2+x^3+....

(1)は第１項で打ち切ってy≒xとしている。
(2)は第2項で打ち切ってy≒x+x^2としている。

だけの話であって、目的と状況に応じてどこまでとるかは決まるものです。

高校の物理ではc≫vといった場合cとvは３ケタぐらい違うと考えるべきでしょう。

そうすると

x≒0.001

x+x^2=0.001001

となり、ほかに条件がなければ

y≒x≒0.001で十分だと気が付きます。