数学の質問

数学の問題です、至急お願いします(>_<)

2曲線 y＝siny y＝sin2x（π/3≦x≦π）で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体Vの体積を求めよ。

苦手な分野なので分かりやすく 教えていただけるとありがたいです！
至急お願いします！。゜(゜´Д｀゜)゜。

No.3 回答者： k14i12d 回答日時： 2013/08/04 15:02

先ほどの回答に誤りがあったので、訂正します。

積分区間及び計算法はaliceさんの言う通りです。
感覚だけで答えてしまったので、間違えました。申し訳ないです。
次回からはこのようなことのないよう、しっかり紙に書くなりして自分で確認したのち回答するようにしたいと思います。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/08/04 08:35

回転させる図形のグラフを書いてみよう。

π/3≦x≦π/2 のとき 0≦sin x≦sin 2x、
π/2≦x≦3π/2 のとき -sin x≦sin 2x≦0、
3π/2≦x≦π のとき sin 2x≦-sin x≦0
だから、V =
π∫[π/3からπ/2まで]｛(sin x)2乗 - (sin 2x)2乗｝dx
+ π∫[π/2から3π/2まで]｛(sin x)2乗 - 0の2乗｝dx
+ π∫[3π/2からπまで]｛(sin 2x)2乗 - 0の2乗｝dx
だよ。

No.1 回答者： k14i12d 回答日時： 2013/08/04 02:10

y=sinyは、y=sinxのうち間違えでしょうか？

y=sinx、y=sin2xを、連立すると、(まあ連立しなくても、周期性と特徴をある程度抑えてれば)、考える範囲内での解はx=π/3、πがわかります。
さて、困ったことに、回転させた時に、かぶってしまう部分があります。
では、絶対値をつけて考えてみましょう。回転させた時には符号が関係無くなるからです。
すると、絶対値の小さいほうの関数は回転させた時に全く体積には影響を与えないことがわかります。
だから、二つの式の絶対値の大きさで場合わけしましょう。すると、絶対値が等しくなり、かつ先に求めた解以外の解は、考える範囲内では、x=2π/3とわかります。(これも連立で解こうが、特徴に注目して暗算でだそうが構いません。)
よってπ∮[π/3→2π/3]((sinx)^2ー(sin2x)^2)dxが求める式となり、計算してみると、……
計算は頑張って下さい笑
cosの2倍角の公式をうまく使えばすぐ出ると思います。