くじ引きの確率問題

くじが１０枚あって、その中に当たりが１枚含まれるとします。
このくじ引きを５回やって、あたりを引く確率を求めなさい。
ただし、引いたくじは戻しません。

こんな問題が現実（数学ではなく）にあったのですが、わかりません。

一応自前でも計算してみました。
最初に、1/10、次は1/9、・・・、最後は1/5とまずは考えました。
であれば、これを足すなり、掛けるなりすれば、それっぽい値が出るかと思ったのですが、
足すと、９回引いた場合の確率が１を超えてしまい、
掛けると、少数なのでやればやるほど確率が低くなるという変な結果になりました。

どうすれば答えが出るのでしょうか？

No.7 ベストアンサー 回答者： oz_marion 回答日時： 2013/08/29 17:59

10回目に必ず当たるんだからね、5回なら50%でしょう。

1回目で当たり　1/10
1回目ハズレ　2回目当たり　9/10×1/9＝1/10
1・2回目ハズレ　3回目当たり　9/10×8/9×1/8=1/10
1・2・3回目ハズレ　4回目当たり　9/10×8/9×7/8×1/7=1/10
1・2・3・4回目ハズレ　5回目当たり　9/10×8/9×7/8×6/7×1/6＝1/10

こうなるのは、理解できますか？
つまり、全部1/10なんですよ。
これ、全部足すと1/2になります。

＞最初に、1/10、次は1/9、・・・、最後は1/5とまずは考えました。
これは間違いで無いけど、もう一つ条件が必要で、2回目は1回目に外れないといけない。
これを計算しないとダメ。だから、2回目に当たりを引く確率は1回目にハズレとなる9/10、
その次に1/9を引くから、そうなる確率は1/10ということ。

ちなみに、最後にやっと当たりは、
9/10×8/9×7/8×6/7×5/6×4/5×3/4×2/3×1/2×1/1＝1/10
つまり、ここまで当たらないのも1/10あるって考え方。

連続して引く場合は、次に引ける条件（ハズレを引いて次を引くなど）の分もしっかり
計算しましょう。

No.6 回答者： chie65535 回答日時： 2013/08/29 17:28

因みに、１回やって当たる確率～１０回やって当たる確率は、それぞれ

１回の時＝1/10＝0.1
2回の時＝2/10＝0.2
3回の時＝3/10＝0.3
4回の時＝4/10＝0.4
5回の時＝5/10＝0.5
6回の時＝6/10＝0.6
7回の時＝7/10＝0.7
8回の時＝8/10＝0.8
9回の時＝9/10＝0.9
１0回の時＝10/10＝1.0

になります。

No.5 回答者： ayataichi 回答日時： 2013/08/29 17:26

　１０本の中に１本の当たりがあるくじを順番に引く。

　様々なシーンで使われる方法ですね。

　つまり、どんな順番で引こうが、当たる確率は同じです。

　でないと不公平になるから。


　本当にそうかどうか、ちゃんと計算するなら。

　解りやすいように、くじに(1)～(10)までの番号をつけて、(1)が当たりだとしましょう。

　２本目が当たるのは、１本目が外れないとだめですよね。

　１本目が外れるのは(2)～(10)を引く９通り。

　そのあとで(1)を引くのも、(2)(1)、(3)(1)、(4)(1)・・・・の９通りです。

　１本目と２本目のくじの組み合わせは、１０×９＝９０　で９０通り。

　したがって、２本目に当たりを引くのは　9/90　で、1/10　の確率です。



　一番目に引くと　1/10　というのはすぐに解る。

　従って、二番目に引いても三番目に引いても、当たる確率は　1/10　なのです。

　それを五回やったら……1/10を五回足せば、5/10　で、つまりは　1/2　ですね。

No.4 回答者： ken-nosuke 回答日時： 2013/08/29 17:19

ANo1．の追記

1/10　は、１回目でくじに当たる確率です。
ですから、次は、もう当たりくじが入っていないので、1/9の当たる確率はありません。

つまり、
１枚目で当たる確率　　　１／１０

２枚目で当たる確率は、１枚目で当たらない確率　９／１０、２枚目で当たる確率　１／９なので
　９／１０　ｘ　１／９＝１／１０

３枚目で当たる確率は、１枚目で当たらない確率　９／１０、２枚目で当たらない確率　８／９、３枚目で当たる確率　１／８　なので
　９／１０　x　８／９　ｘ　１／８　＝　１／１０

同様に４枚目で当たる確率も、５枚目で当たる確率も　１／１０　ですから、５回引いた時の当たる確率は
　１／１０　ｘ　５　＝１／２　となります。

No.3 回答者： chie65535 回答日時： 2013/08/29 17:19

この場合「外れる確率」を求めます。

１回目に外れる確率は9/10です。

１回目も２回目も外れる確率は（9/10）×（8/9）です。

１回目も２回目も３回目も外れる確率は（9/10）×（8/9）×（7/8）です。

１回目も２回目も３回目も４回目も外れる確率は（9/10）×（8/9）×（7/8）×（6/7）です。

１回目も２回目も３回目も４回目も５回目も外れる確率は（9/10）×（8/9）×（7/8）×（6/7）×（5/6）です。

「当たる確率＝１－外れる確率」ですから「１－（9/10）×（8/9）×（7/8）×（6/7）×（5/6）」を求めます。

「（9/10）×（8/9）×（7/8）×（6/7）×（5/6）＝1/2」ですから「1-1/2＝1/2」で、確率は「1/2」です。

なお「（9/10）×（8/9）×（7/8）×（6/7）×（5/6）」は暗算できます。

「（9/10）×（8/9）×（7/8）×（6/7）×（5/6）＝(（9×8×7×6)×5）/（10×(9×8×7×6)）」です。

「分子の(9×8×7×6)」と「分母の(9×8×7×6)」は消せるので「分子に5、分母に10」が残ります。

ですので「(（9×8×7×6)×5）/（10×(9×8×7×6)）＝5/10＝1/2」になります。

No.2 回答者： MSZ006 回答日時： 2013/08/29 17:09

１回目であたりの確率：1/10

これはよいですよね。
２回目であたりの確率→１回目は外れ、かつ、２回目で当たる、ということですから、
9/10×1/9
となります。
同様に、
３回目で当たり：9/10×8/9×1/8
4回目で当たり：9/10×8/9×7/8×1/7
５回目で当たり：9/10×8/9×7/8×6/7×1/6

以上を足せばよいと思います。

No.1 回答者： ken-nosuke 回答日時： 2013/08/29 17:03

１０枚から1枚ずつ５回、つまり５枚取り出します。

5枚取り出す間に当たるかどうかを考えます。

１／１０　ｘ　５＝１／２　つまり１／２が答えです。