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No.1
- 回答日時:
(1)
t=1/2より小さい、大きいで場合分けする。
0≦t<1/2のとき
積分区間はy=x^2とy=4(x-t)^2の2つの交点のx座標x=2t/3,2tから
[2t/3,2t]
S(t)=∫[2t/3,2t] {x^2-4(x-t)^2}dx=(32/27)t^3
t=1/2のとき最大値S(1/2)=4/27
1/2≦t≦1のとき
積分区間はy=x^2とy=4(x-t)^2の2つの交点のx座標
x=2t/3(<1),2t(>1)から [2t/3,1]なので
S(t)=∫[2t/3,1] {x^2-4(x-t)^2}dx=(32/27)t^3-4t^2+4t-1
(2)
0≦t<1/2のときS(t)=(32/27)t^3(>0),S(t)は0≦t<1/2で単調増加関数。
t=1/2のとき最大値S(1/2)=4/27
1/2≦t≦1のとき
S(t)=(32/27)t^3-4t^2+4t-1
S'(t)=(32/9)(t-3/2)(t-3/4)
1/2≦t≦1で(t-3/2)<0。1/2≦t<3/4でS'(t)>0,3/4<t≦1でS'(t)<0
t=3/4で極大値(最大値)S(3/4)=1/4
まとめると0≦t≦1の範囲の最大値は
t=3/4のとき 最大値S(3/4)=1/4
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