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最後の(3)が解けなくて・・・教えてください。
xy平面上に、放物線C:y=ax^2-bx+6と直線l:y=2x-3がある。C上の点A(3.3)におけるCの接線がlに一致している。
P(0.k)(-3<k<6)を通りlに平行な直線とCの異なる2つの交点Q.Rのx座標を、それぞれα、β(α<β)とする。
(1)a.bの値をそれぞれ求めよ。
(2)kをαを用いて表せ。また、y軸とCおよび線分PQで囲まれる部分の面積S1をαを用いて表せ。
(3)Cと線分QRで囲まれる部分の面積をS2とする。(2)のS1に対してS1:S2=1:2が成り立つようなkの値を求めよ。
私は(1)a=1,b=4 (2)k=α^2-6α+6、 S1=-2/3α^3+3α^2
となりました。
(3)はS2=-2/3α^3+(β+3)α^2-6βα-1/3β^3+3β^2
とだして、
解と係数の関係からα+β=6、αβ=-α^2+6αをだし代入
S2=-2α^3+24α^2-108α+36
S1:S2=1:2から2S1=S2なので・・・・・・と出そうとしていました。
ここから先が解けず困っています。お願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
C:y=ax^2-bx+6
y'=2ax-b
x=3における接線は
y=(6a-b)(x-3)+3
これが
l:y=2x-3
に一致することから
6a-b=2,-6+3=-3
∴b=6a-2 ...(A)
またCが点(3,3)を通ることから
3=9a-3b+6
∴b=3a+1 ...(B)
(A),(B)のa,bについての連立方程式を解いて
a=1,b=4 ←(答え)
>(1) a=1,b=4
合ってます。
(2)
C:y=x^2-4x+6
y=2x+k(-3<k<6)
x^2-6x+6-k=0 ...(C)
x=αはこの解であるから
α^2-6α+6-k=0
∴k=α^2-6α+6 ...(D) ←(答え)
S1=∫[0,α](x^2-4x+6-(2x+k)dx,k=α^2-6α+6
=[(1/3)x^3-3x^2+(6-k)x][0,α]
=(1/3)α^3-3α^2+(6-k)α
これにkを代入すると
=-(2/3)α^3+3α^2 ←(答え)
>(2)k=α^2-6α+6、S1=-(2/3)α^3+3α^2
で合っています。
(3)
S2=∫[α,β] (2x+k-(x^2-4x+6))dx
=[-(1/3)x^3+3x^2+(k-6)x][α,β]
=(1/3)(α^3-β^3)-3(α^2-β^2)+(6-k)(α-β)
S1:S2=1:2より 2S1-S2=0
2(-(2/3)α+3)α^2-((1/3)(α^3-β^3)-3(α^2-β^2)+(6-k)(α-β))=0 ...(E)
α,βは2次方程式(C)の解であるから解と係数の関係から
α+β=6,αβ=6-k(α<β) ...(F)
(D),(E),(F)を解くと
β^3-α^3=(β-α)((α+β)^2-αβ)=(β-α)(k+30)
β^2-α^2=(β-α)(α+β)=6(β-α) より
k=0,α=3-√3,β=3+√3
(答え) k=0
No.3
- 回答日時:
αをa,βをbと書きます.
S^2 =-2/3 a^3 +(b+3)a^2 -6ab -1/3 b^3 +3b^2
に
b=6-a
を代入すると,
S^2 =-2/3 a^3 +(6-a+3)a^2 -6a(6-a) -1/3 (6-a)^3 +3(6-a)^2
=-2/3 a^3 +9a^2 -a^3 -36a +6a^2 -72 +36a -6a^2 +1/3 a^3 +108-36a +3a^2
=-2/3 a^3 -a^3 +1/3 a^3 +9a^2 +6a^2 -6a^2 +3a^2 -36a +36a -36a -72 +108
=-4/3 a^3 +12a^2 -36a +36
となります.(ここが,計算違いです.)
S1 =-2/3a^3 +3a^2
ですから,
2S1 =S2
により,
-4/3a^3 +6a^2 =-4/3 a^3 +12a^2 -36a +36
よって,
6a^2 -36a +36 =0
a^2 -6a +6 =0
よって,
k=a^2 -6a +6
=0
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