数学 n!に含まれる素因数の個数

15！が2のk乗で割り切れるような自然数kの最大値を求めよ。」という問題なんですが、
解説を見ても、なぜその答えになるのかが分かりません。

解説から、1から15までの自然数の中に2の倍数と4の倍数と8の倍数の個数の合計(k=11)から求められることは分かるのですがなぜそう計算するのかの理屈がいまいち理解できないんです
教えていただけると嬉しいです！

No.1 回答者： staratras 回答日時： 2013/11/07 09:31

>「15！が2のk乗で割り切れるような自然数kの最大値を求めよ。

」

わかりやすく言い換えれば「15！は2で何回割れるか」つまり「15!を素因数分解したときに2は何個登場するか」ということです。

もちろん2は偶数にしか含まれませんので、かたはしから素因数分解して2、4=2^2、6=2・3、8=2^3、10=2・5、12=2^2・3、14=2・7　から1+2+1+3+1+2+1=11　と求めることができます。

ただしこの方法では、数え間違いが起こるおそれもあるので、少し整理して、15までの自然数(のうちの偶数)を、素因数分解したときに含まれる2の個数によって、2(=2^1)×奇数、4(=2^2)×奇数、8(=2^3)×奇数に分類すればわかりやすいでしょう、というのがご質問の解法だと考えます。

つまり、下のように数えているわけです。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
問題を2で何回割れるかと言い換えてくれたのが分かりやすかったです。

お礼日時：2013/11/07 18:32

No.2 ベストアンサー 回答者： Quattro99 回答日時： 2013/11/07 11:44

2で何回割りきることが出来るかと同じなので、実際に割っていくとどうなるかを考えてみます。

1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15を2で割っていきます。
まず、2の倍数の個数と同じ回数割ることが可能です。実際に2の倍数を2で割った状態を考えてみて下さい。
1*1*3*2*5*3*7*4*9*5*11*6*13*7*15になっていることになります。この中では元々4の倍数であったものだけがさらに2で割ることが出来ます。つまり、4の倍数の個数と同じ回数割ることが出来ます。
同様に、次は元々8の倍数であったものだけがさらに2で割ることが出来ます。
16の倍数はありませんから、この段階で全て奇数になっていることになり、もうこれ以上2で割り切ることは出来ません。

上の操作で何回2で割ったかを考えるとそれは「2の倍数と4の倍数と8の倍数の個数の合計」であることがわかると思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やっと納得することができました。

お礼日時：2013/11/07 18:30