重積分の広義積分についての問題です。

∬{ x≧0, y≧0} 1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy
教えてください！
よろしくお願いします。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2014/01/07 05:34

x=rcos(t), y=rsin(t)とおいて置換積分すると

D={(x,y)|x≧0, y≧0}⇔{(r,t)|0≦t≦π/2,0≦r}
dxdy=rdrdt
1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy=r/(1+r^2)^2 drdt
であるから
I=∬{x≧0, y≧0} 1/(1+x^2+y^2)^2 dxdy=∫[0→π/2] dt∫[0→∞] r/(1+r^2)^2 dr
=(π/2)(1/2)∫[0→∞] 2r/(1+r^2)^2 dr
=(π/4)[-1/(1+r^2)][0→∞]
=π/4