(1)曲線y=x^3+ax^2+bxが曲線上の点(x、y)=(1/3,-8/27)において、y=-2/3x-2/27を接線にもつときの
aとbの値を求めよ
(2)y=x^2+x+1のグラフに点A(1、2)から2本の接戦が引ける。この2本の接線の方程式を求めよ。
この2つ問題で疑問なんですが、曲線の接戦は交わる点が1つではなく2つでもいいのですか?
(1)は導関数から、傾きを出して、もう一方の式の傾きと=の式をつくり、a,bの値を求める。
ここで疑問なのですが、なぜ傾きが同じかということです。
イメージ的には下の図のようになるのでしょうか?(自分で書いてみました。)
(2)も同じで好転は2つでもよいのですか?
教えてください。よろしくお願いします。
No.4
- 回答日時:
(2)の解き方
点(1、2)を通る直線は、y 軸に平行ではないので
y - 2 = a(x - 1)
y = ax - a + 2
とおくことができます
これが y=x^2+x+1のグラフ と接するということは、
x^2 + x+1= ax - a + 2
整理して
x^2 +(1 - a)+ a - 1 = 0
が 1つの解しかないことです
(2つ解があると、接するのではなく、2点で交わってしまいます)
1つしか解がないので、
判別式 (1 - a)^2 - 4(a - 1)= 0
(a - 1)^2 - 4(a - 1) = 0
(a - 1)(a - 5)= 0
a= 1 あるいは a = 5
となり、各々の直線の式は
y = x + 1
y = 5x - 3
となります
【答え】
y = x + 1
y = 5x - 3
回答ありがとうございます。
この問題は別の方法で解きました。
なぜなら、なぜ2次方程式の判別式が使えるのか疑問だったからです。
2次方程式なら、なんでも判別式が使えるのでしょうか?
別の問題でこの疑問にあたったので、別の形で質問するかもしれません。
よければ答えてください。
No.3
- 回答日時:
(1)の解き方
y=x^3+ax^2+bx が 点(1/3,-8/27) を通るので
-8/28 = 1/27 + a / 9 + b / 3
整理すると a + 3b + 3 = 0 (1)
y=x^3+ax^2+bx を微分して
y' = 3x^2 + 2ax + b
点(1/3,-8/27)での傾きが - 2/3 ですので
1/3 + 2/3 a + b = - 2/3
整理すると
2a + 3b + 3 = 0 (2)
(1)、(2) を解くと、a = 0、b = -1
それを代入し、y = x^3 - x
【答え】a = 0、b = -1
No.1
- 回答日時:
【1】この2つ問題で疑問なんですが、
曲線の接戦は交わる点が1つではなく2つでもいいのですか?
《解答》
(1)は x の3次式ですので、(1/3,-8/27)において節するとしても
もう1点で交わることになります
(2)は x の 2次式ですので、接戦でのみ節し、他に交点はありません
【2】(1)は導関数から、傾きを出して、もう一方の式の傾きと=の式をつくり、
a,bの値を求める。
ここで疑問なのですが、なぜ傾きが同じかということです。
イメージ的には下の図のようになるのでしょうか?(自分で書いてみました。)
《解答》節するということは、同じ傾きを持っています
逆に傾きが違うと、「節する」のでではなく、「交わって」しまいます
今回の問題とは別のグラフになってますが、「節する」の理解はそんな感じ
です
【3】(2)も同じで好転は2つでもよいのですか?
《解答》(2)は x の 2次式ですので、1点で節すると、他に交点はありません
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