なぜ初年が０年目なのでしょうか

次のサイトの33ページの下端に、純現在価値算出の公式があります。。
http://www.mof.go.jp/pri/publication/financial_r …

一般に、最初のものは「第1番目」呼ぶと思います。したがって、プロジェクトの期数名も、普通は、プロジェクトが開始される期を第１期と呼ぶと思います。

でも、上記の公式の上3行目にある説明文では「初年を０年目とする」とあります。上記の公式の累計（Σ）の開始期もt=0となっています。

なぜ、「初年を１年目」としないのでしょうか。
「初年を１年目」として、上記の公式の累計（Σ）の開始期をt=1とした方が、ずっとすっきりするし分かりやすいと思います。

「初年を０年目とする」のはこの論文の著者だけの考え方かとも思ったのですが、他の純便益の文献にも「初年を０年目とする」という文献が1つありました。ですから、この著者だけの考え方ではないように思います。

よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： at9_am 回答日時： 2014/02/11 18:56

理由、ですが、正しいような間違っているような、あやふやですね。

単純に、書き方の問題です。「初年度を０年目と呼ぶ」だけなのです。
別に初年度を2014年として、(t-2014)としても、全く構わない訳です（一般化の観点からは問題ですが）。

別段ｔ＝１から始めても、年の t が全部 t-1 に置き換わるだけなので、あんまり意味はないんです。
勿論、t=1から始めて初年度も(B1-C1)^(1+r)^{-t}のようなことをすると、初年度の利益も割り引くことになるのでおかしなことになるんですが。

この回答へのお礼

再度の御回答を頂きありがとうございます。

そうなんですね。初年度の利益は割り引かないということを示すためだけに t=0 としているんですね。
それさえなければ、t-2014でもいいんですよね。

ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/12 15:42

No.4 回答者： aokisika 回答日時： 2014/02/11 14:47

投資を実行するのは２０１４年ではなく、２０１４年２月１１日です。

たとえば、２０１３年１２月２５日に投資を行った場合、この「年」つまり「２０１３年の１年間」を「１年目」と考えると、７日後の２０１４年１月１日は２年目です。従って７日間で２年分の利子が付くことになります。翌年であると考えることにしても、７日間で１年分の利子が付くことになってしまいます。これは不合理です。

「１年間」ではなく、２０１３年１２月２５日という「時点」を「０年目」として考え、２０１４年１２月２５日の「時点」を１年目と考えることにすると、２０１４年１月１日は７／３６５年目ですから、利子も１年の７／３６５だけの利子になり、正しく計算できるようになります。

「初年」というのは最初の「１年間」ではなく、最初の「時点」なのです。ここを「ゼロ年目」として、１年後の「時点」を「１年目」と考えるのです。

現在価値の説明をした文書の多くで、初年をゼロ年とする、という記載がありますが、これはすべて、投資をした時点をゼロ年目とする、という意味なのです。最初の１年間ではないのです。

この回答へのお礼

御回答いただきありがとうございます。

純現在価値算出の公式の分母は (1+r)^t であり、t は「期」を表すので 0、1、2、3、..... という値を取ると思います。だから、お教えの 「７日間」 のようないわゆる日割り計算は想定していないと思います。0 期もまるまる 「 1 期」 あると想定していると思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/12 15:39

No.3 回答者： at9_am 回答日時： 2014/02/11 01:12

> 「初年を１年目」として、上記の公式の累計（Σ）の開始期をt=1とした方が、ずっとすっきりするし分かりやすいと思います。

利子が中心の場合には、利子は経過した年数に応じてかかるので開始年を０年（経過年数０）とした方が分かりやすいためです。

例えば、毎期100の支出で1％の利子率の場合の割引現在価値Vは
　V = 100×(1.01)^(0) + 100×(1.01)^(-1) + 100×(1.01)^(-2) + ...
となります（(1.01)^(0)=1に注意）。
このため、０から始める方が自然です。

この回答への補足

早々に御回答いただきありがとうございます。

御回答を読んで、「初年を0年目」としている理由を私なりに次のように考えたのですが、この考えはどうでしょうか。ご意見を頂ければと思います。

理由

「初年を1年目」と仮定すると自動的に t=1 となり、すると必ず (B1-C1)÷(1+r) という項が発生し、この項は初年の (B1-C1) についても割り引くことを意味します。しかし、(B1-C1) は、当然ですが初年の年初に発生するため、将来価値ではなく現在価値であるので、割り引くのは正しくない。つまり、割り引くことは矛盾している。したがって、「初年を1年目」とする仮定は誤りである。

「初年を0年目」と仮定すると自動的に t=0 となり、すると必ず (B0-C0) という項が発生し、この項は初年の (B0-C0) については割り引かないことを意味します。(B0-C0) は、当然ですが初年の年初に発生するため、将来価値ではなく現在価値であるので、割り引かないのは正しい。つまり、割り引かないことは矛盾していない。したがって、「初年を0年目」とする仮定は正しい。

補足日時：2014/02/11 12:50

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/13 16:24

No.2 回答者： tanuki4u 回答日時： 2014/02/10 21:46

年を数えるのに

数え年でやったほうが良いか

満何歳でやったほうが良いか

あるいは数学のX軸で起点を　１　にしたほうがよいか　０　にしたほうが良いか。

０を起点にしたほうが数学的な常識としてもやりやすい。

たとえば、半年段階の定義で

数え年（初年度１年）とすると、1.5　になる。
満何歳（初年度０年）とすると、0.5　になる。

直感的な数字の理解として　0.5としたほうが正しい。

※　数学のほうで準備してある公式群が　０　基準だから、０でやったほうが、数学を使いやすいということかと。なんせ、経済学はとっても数学の出来たサミュエルソンが数学を使って使えるようにした学問だから。

この回答への補足

早々に御回答いただきありがとうございます。

御回答を読んで、「初年を0年目」としている理由を私なりに次のように考えたのですが、この考えはどうでしょうか。ご意見を頂ければと思います。

理由

「初年を1年目」と仮定すると自動的に t=1 となり、すると必ず (B1-C1)÷(1+r) という項が発生し、この項は初年の (B1-C1) についても割り引くことを意味します。しかし、(B1-C1) は、当然ですが初年の年初に発生するため、将来価値ではなく現在価値であるので、割り引くのは正しくない。つまり、割り引くことは矛盾している。したがって、「初年を1年目」とする仮定は誤りである。

「初年を0年目」と仮定すると自動的に t=0 となり、すると必ず (B0-C0) という項が発生し、この項は初年の (B0-C0) については割り引かないことを意味します。(B0-C0) は、当然ですが初年の年初に発生するため、将来価値ではなく現在価値であるので、割り引かないのは正しい。つまり、割り引かないことは矛盾していない。したがって、「初年を0年目」とする仮定は正しい。

補足日時：2014/02/11 12:49

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/13 16:23

No.1 回答者： f272 回答日時： 2014/02/10 17:28

「初年を１年目」とすると

1期間が経過すると2年目になり
2期間が経過すると3年目になり
(n-1)期間が経過するとn年目になることになります。

「初年を0年目」とすると
1期間が経過すると1年目になり
2期間が経過すると2年目になり
n期間が経過するとn年目になることになります。

数式を作るときに，t=0からTまでとすると，指数にはtが来ますが，t=1からTまでとすると，指数には(t-1)が来ます。もちろんどちらで書いてもいいのですけれど，その著者は「初年を0年目」とする方が見やすいと思ったんでしょう。

この回答への補足

早々に御回答いただきありがとうございます。

御回答を読んで、「初年を0年目」としている理由を私なりに次のように考えたのですが、この考えはどうでしょうか。ご意見を頂ければと思います。

理由

「初年を1年目」と仮定すると自動的に t=1 となり、すると必ず (B1-C1)÷(1+r) という項が発生し、この項は初年の (B1-C1) についても割り引くことを意味します。しかし、(B1-C1) は、当然ですが初年の年初に発生するため、将来価値ではなく現在価値であるので、割り引くのは正しくない。つまり、割り引くことは矛盾している。したがって、「初年を1年目」とする仮定は誤りである。

「初年を0年目」と仮定すると自動的に t=0 となり、すると必ず (B0-C0) という項が発生し、この項は初年の (B0-C0) については割り引かないことを意味します。(B0-C0) は、当然ですが初年の年初に発生するため、将来価値ではなく現在価値であるので、割り引かないのは正しい。つまり、割り引かないことは矛盾していない。したがって、「初年を0年目」とする仮定は正しい。

補足日時：2014/02/11 12:49

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2014/02/13 16:23