接平面の問題です

曲面ｚ＝√(ｘ^２ｙ－ｘｙ＋ｙ＾２）上のｘ＝２、ｙ＝－３に対応する点における接平面
答えは４４ｘ＋４ｙ－ｚ+４８＝０のようです。
自分はｚに（２、－３）を代入して、そののちｚをｘ、ｙでそれぞれ偏微分してまた（２、－３）を代入しました。
そしてｚ－ｆ（a,b)=fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)に代入しました。（a=x,b=y)
これを整理したらルートも混じったすごく分かりにくい式となってしまいました。
どう変形しても答えに近づかないので、アドバイスをください。
下の局面ｚ＝√(４－ｘ＾２－ｙ＾２）を図示し、この曲面上のｘ＝１、ｙ＝１に対応する点における接平面の方程式を求めよも同様にわかりません。
よろしくお願いします。

No.2 回答者： hiccup 回答日時： 2014/04/03 21:18

計算したところ

9x+4y+2√3 z-12=0
になりました。たぶんあなたの答えと同じです。正解を保証するものではありませんが...。

次の問題は、x^2 +y^2 +z^2 =4 の一部であることに気づけば易しいですね。
z=√(4-x^2 -y^2) と z=-√(4-x^2 -y^2) との共通部分は赤道ですから。

また、この変形でわかりますが、２つの問題は、３変数でやる方が簡単ではないでしょうか。
たとえば下の問題は、F(x,y,z)=x^2 +y^2 +z^2 の (1,1,√2) における接平面（でよかったかな？）を求める問題に置き換えます。
∂F/∂x = 2x
∂F/∂y = 2y
∂F/∂z = 2z
(1,1,√2) におけるそれぞれの値は 2,2,2√2 だから
2(x-1)+2(y-1)+2√2 (z-√2)=0
x+y+√2 z-4=0

この回答へのお礼

解答ありがとうございます。
答えを見たら9x+4y+2√3 z-12=0で正解でした。
２問目も理解できたような気がします。

お礼日時：2014/04/04 14:30

No.1 回答者： anisakis 回答日時： 2014/04/03 17:23

x=2,y=-3のとき

z=√3で
その点で接するっていってるんですけど
接平面の方程式にx=2,y=-3代入しても
44*2+4*(-3)-z+48=0で
どう考えてもz=√3になりませんよ