文字が整数で基本対称式がp倍なら元の文字はp倍か

x∈Z、y∈Z、x＋y∈pZ、xy∈pZ　⇔　x∈pZ、y∈pZ

（ただしpは素数）

(⇐の証明)pの倍数は加法と乗法で閉じている。

(⇒の証明)xy∈pZ　より、
xyはpの倍数
xy/pは整数
xはpの倍数、または、yはpの倍数

xがpの倍数のときを考える。x＋y∈pZより、
x＋yはpの倍数
yはpの倍数

yがpの倍数のときを考えても同様。

ところで、

x∈Z、y∈Z、z∈Z、x＋y＋ｚ∈pZ、xy＋yz＋zx∈pZ、xyz∈pZ　⇔　x∈pZ、y∈pZ、z∈pZ

（ただしpは素数）

は成り立つのでしょうか？
反例、または証明を教えていただきたいです。
証明は、できれば、3次に限らずに一般に成り立つような方法を教えていただきたいです。

No.3 回答者： ramayana 回答日時： 2014/04/18 20:51

一般に n 次で言えます。

x[1]、x[2]、・・・、x[n] の n-k 次基本対称式を a[k] とすれば、各 x[i] は、次の関係式を満たす。

　　x[i]^n +((-1)^1 )a[n-1]x[i]^(n-1) + ・・・+((-1)^n)a[0] = 0

移項して

　　x[i]^n = -((-1)^1 )a[n-1]x[i]^(n-1) - ・・・-((-1)^n)a[0]

もし、a[n-1] 、・・・、a[0] がすべて p で割り切れるなら、上の式の右辺が p で割り切れるから、x[i]^n が p で割り切れる。 p が素数だから、x[i] が p で割り切れる。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2014/04/18 17:42

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8558292.html に寄せられた美しい回答に倣うならば、
　　(t-x)(t-y)(t-z)=0
を展開して
　　t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy + yz + zx)t - xyz = 0
従って、
「a,b,cが整数であるとき、方程式
　　t^3 - pa t^2 + pb t - pc = 0
の解が（重解を含めて）3つあってそれらが全部整数なら、それらは全部pの倍数である」
を言えば十分、ってことになるわけですが、さて、どうですかね？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/04/17 23:56

帰納法, まわらない?