数学テイラーの定理

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質問者：singforthe
質問日時：2014/05/01 22:49
回答数：2件

f(x)がn回微分可能のとき、f(x)はn次の関数と考えるとn回微分したとき、残るのは定数だと思うのですが、青色の線のようにf(x)のn回微分のところに、x=cが代入されています。これはどういうことですか？

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回答 (2件)

No.2ベストアンサー

回答者： info222_
回答日時：2014/05/02 00:11

>青色の線のようにf(x)のn回微分のところに、x=cが代入されています。

これはどういうことですか？

説明にあるように、青色の線のところは余剰項で、一般的には
　[f^(n)(c)/n!](x-a)^n=Σ[k=n,∞]f^(k)(a)/k!](x-a)^k
　　　　=[f^(n)(a)/n!](x-a)^n+[f^(n+1)(a)/(n+1)!](x-a)^(n+1)+ …
つまり、(x-a)のn乗以降の無限項和がaとxの間のcを選べば
１つの項「[f^(n)(c)/n!](x-a)^n」
で表せるということです。

おっしゃるように「f(x)はn次の関数と考えると」の場合は
「n回微分したとき、残るのは定数だと思う」　その通りで
　[f^(n)(a)/n!](x-a)^n
の[f^(n)(x)/n!]は定数ですから xを含んでいないので
見かけ上、xに何を代入しようと関係ありません。
なので
[f^(n)(x)/n!]=[f^(n)(a)/n!]=[f^(n)(c)/n!]
となります。n+1回以上微分して残る項は存在しません。
したがって、この場合の余剰項は
　[f^(n)(c)/n!](x-a)^n=[f^(n)(a)/n!](x-a)^n
一項のみとなります。