確率の問題です。

この度お世話になります。
高校2年の甥っ子から質問されましたが、解らなくて解けません。
体調不良で確率の講義を全然受けなかったようです。
お忙しい中、下記の問題をわかりやすくご教示お願いします。

問１　男性A１，・・・，A4，の4人と女性C1，・・・，C4の4人が、横1列に並んだ座席F1，・・・，F８に座る場合を考える。

(1)　同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか？　
(2)　(1)の座り方の中で、A1の両隣がC1とC2になる座り方は何通りあるか。　
(3)　(1)の座り方の中で、A1とC1が隣り合わない座り方は何通りあるか。

問２　正7角形について、次の問いに答えよ。

(1)　対角線の総数を求めよ。
(2)　対角線を2本選ぶ組み合わせは何通りあるか。
(3)　頂点を共有する2本の対角線は何組あるか。
(4)　共有点をもたない2本の対角線は何組あるか。
(5)　正7角形の内部で交わる2本の対角線は何組あるか。

問３　Aが持っている袋の中には赤玉3個と白玉4個が入っており、Bが持っている袋の中には赤玉5個と白玉6個が入っている。AとBのそれぞれが同時に各自の袋の中から無造作に2個ずつ玉を取り出し、玉の色を確かめてから、取りだした玉をそれぞれ元の袋に戻す、という試行を繰り返す。同時に取り出された合計4個の玉の色が全て同じであれば、その時点で試行を終了する。ただし、試行は6回以上行わないとする。

(1)　1回目の試行で、Aの取り出す玉が2個とも赤玉となる確率を求めよ。
(2)　試行が1回で終了する確率を求めよ。
(3)　試行がちょうど2回で終了する確率を求めよ。
(4)　試行が3回以上続く確率を求めよ。

問４　1，2，3，4の番号をつけた4枚のカードがある。この中からカードを1枚取り出しそこに書かれている番号を見る、という試行を繰り返す。但し、取り出したカードは元に戻さない。この試行は、取り出したカードに書かれた番号の合計が3の倍数になるか、又は4枚全部を取り出した時に終了する。
取り出したカードに書かれた番号の合計が3の倍数になった時、この試行は成功したと呼ぶ。4枚全部を取り出した時、この試行は失敗したと呼ぶ。この試行の得点Xは、成功した時は取り出したカードの枚数とし、失敗した時は0点とする。

(1)　確率P(X=1)およびP(X=2)を求めよ。
(2)　この試行が成功する確率を求めよ。また、得点の平均(期待値)E(X)を求めよ。
(3)　取り出したカードに書かれた番号の和が6となる確率を求めよ。更に、取り出したカードに書かれた番号の和が6であることがわかっているとき、X＝3である条件つき確率を求めよ。

問５　何人かの人をいくつかの部屋に分ける問題を考える。ただし、各部屋は十分大きく、定員については考慮しなくてよい。□の中にに数字をいれよ。

(1)　7人を二つの部屋A，Bに分ける。
　　(i)　部屋Aに3人、部屋Bに4人となるような分け方は全部で□通りある。
　　(ii)　どの部屋も1人以上になる分け方は全部で□通りある。そのうち、部屋Aの人数が奇数である　　　　 分け方は全部で□通りある。
(2)　4人を三つの部屋にA，B，Cに分ける。どの部屋も1人以上になる分け方は全部で□通りある。
(3)　大人4人、子供3人の計7人を三つの部屋A，B，Cに分ける。
　　(i)　どの部屋も大人が1人以上になる分け方は全部で□通りある。そのうち、三つの部屋に子供3　　　　 人が1人ずつ入る分け方は全部で□通りである。
　　(ii)　どの部屋も大人が1人以上で、かつ、各部屋とも2人以上になる分け方は全部で□通りある。

以上よろしくお願いします。

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/05/06 22:34

取り敢えず問４の途中までです。

問１　男性A１，・・・，A4，の4人と女性C1，・・・，C4の4人が、横1列に並んだ座席F1，・・・，F８に座る場合を考える。

(1)　同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか？
＞F1,3,5,7にA1～A4が座る座り方：4!=24通り
F2,4,6,8にC1～C4が座る座り方：4!=24通り
よってF1に男性が座る場合の座り方：24*24=576通り
同様にF1に女性が座る場合の座り方：24*24=576通り
以上合計1152通り・・・答
(2)　(1)の座り方の中で、A1の両隣がC1とC2になる座り方は何通りあるか。　
＞C1A1C2がこの順にF1,2,3に座る場合にF4,6,8にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F5,7にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
C1A1C2がこの順にF2,3,4に座る場合にF1,5,7にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F6,8にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
C1A1C2がこの順にF3,4,5に座る場合にF2,6,8にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F1,7にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
C1A1C2がこの順にF4,5,6に座る場合にF1,3,7にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F2,8にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
C1A1C2がこの順にF5,6,7に座る場合にF2,4,8にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F1,3にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
C1A1C2がこの順にF6,7,8に座る場合にF1,3,5にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F2,4にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
以上計12*6=72通り
同様にC2A1C1がこの順に座る座り方が72通りあるので、
以上合計72*2=144通り・・・答
(3)　(1)の座り方の中で、A1とC1が隣り合わない座り方は何通りあるか。
＞A1とC1が隣り合う座り方を考える。
A1C1がこの順にF1,2に座る場合にF3,5,7にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F4,6,8にC2,3,4が座る座り方：3!=6通り、計6^2=36通り
A1C1がこの順にF2,3、F3,4、F4,5、F5,6.、F6,7、F7,8に座る場合も同様に
各36通りあるので、計252通り
C1A1がこの順に座る座り方も252通りあるので、計504通り
よって、A1とC1が隣り合わない座り方は1152-504=648通り・・・答
問２　正7角形について、次の問いに答えよ。

(1)　対角線の総数を求めよ。
＞7C2-7=21-7=14本・・・答
(2)　対角線を2本選ぶ組み合わせは何通りあるか。
＞14C2=91通り・・・答
(3)　頂点を共有する2本の対角線は何組あるか。
＞(4C2)*7=42組・・・答
(4)　共有点をもたない2本の対角線は何組あるか。
＞7+7*2/2=14組・・・答
(5)　正7角形の内部で交わる2本の対角線は何組あるか。
＞(2)(3)(4)の答から91-42-14=35組・・・答
問３　Aが持っている袋の中には赤玉3個と白玉4個が入っており、
Bが持っている袋の中には赤玉5個と白玉6個が入っている。
AとBのそれぞれが同時に各自の袋の中から無造作に2個ずつ玉を取り出し、
玉の色を確かめてから、取りだした玉をそれぞれ元の袋に戻す、という試行を繰り返す。
同時に取り出された合計4個の玉の色が全て同じであれば、その時点で試行を終了する。ただし、試行は6回以上行わないとする。

(1)　1回目の試行で、Aの取り出す玉が2個とも赤玉となる確率を求めよ。
＞(3/7)*(2/6)=1/7・・・答
(2)　試行が1回で終了する確率を求めよ。
＞1回目の試行で、Bの取り出す玉が2個とも
赤玉となる確率は(5/11)*(4/10)=2/11
よって合計4個の玉の色が全て赤となる確率は
(1/7)*(2/11)=2/77。
1回目の試行で、Aの取り出す玉が2個とも
白玉となる確率は(4/7)*(3/6)=2/7
1回目の試行で、Bの取り出す玉が2個とも
白玉となる確率は(6/11)*(5/10)=3/11
よって合計4個の玉の色が全て白となる確率は
(2/7)*(3/11)=6/77
よって試行が1回で終了する確率は
2/77+6/77=8/77・・・答
(3)　試行がちょうど2回で終了する確率を求めよ。
＞試行が1回で終わらない確率=1-8/77=69/77
よって試行がちょうど2回で終了する確率は
(69/77)*(8/77)=552/5929・・・答
(4)　試行が3回以上続く確率を求めよ。
＞1-8/77-552/5929=4761/5929・・・答

問４　1，2，3，4の番号をつけた4枚のカードがある。この中からカードを1枚取り出しそこに書かれている番号を見る、という試行を繰り返す。但し、取り出したカードは元に戻さない。この試行は、取り出したカードに書かれた番号の合計が3の倍数になるか、又は4枚全部を取り出した時に終了する。
取り出したカードに書かれた番号の合計が3の倍数になった時、この試行は成功したと呼ぶ。4枚全部を取り出した時、この試行は失敗したと呼ぶ。この試行の得点Xは、成功した時は取り出したカードの枚数とし、失敗した時は0点とする。

(1)　確率P(X=1)およびP(X=2)を求めよ。
＞1枚目が3のときP(X=1)=1/4・・・答。
P(X=2)=2/6=1/3・・・答
(2)　この試行が成功する確率を求めよ。また、得点の平均(期待値)E(X)を求めよ。
＞P(X=3)を考える。(1枚目,2枚目,3枚目,4枚目)が
(1,3,2)(2,3,1)(2,3,4)(4,3,2)のときにX=3となる。
よってP(X=3)=(1/4)*(1/3)*(1/2)*4=1/6.
この試行が成功する確率はP(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
=1/4+1/3+1/6=3/4・・・答
E(X)=1/4+(1/3)*2+(1/6)*3=17/12=1.416666・・・・・・・・・答

この回答へのお礼

yyssaa様　
この度はご回答頂きありがとうございました。本日、甥っ子が帰る前にコピーをしてお見せいたします。
答えは在るのですが、導き方が解らず困っていました。
初めての質問でしたので、どうなることかと思っていましたが、助かりました。
最後に厚かましいお願いですが、問い５をお解りでしたら、□に入る数字の導き方をご教示頂ければ幸いです。

yyssaa様　今後のご活躍を期待しております。　感謝！

お礼日時：2014/05/07 12:49

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/05/07 22:05

＞前回回答の問４(2)の説明文の一部を訂正し、全問回答します。

なお、前回回答の答の訂正はありません。
問１　男性A１，・・・，A4，の4人と女性C1，・・・，C4の4人が、横1列に並んだ座席F1，・・・，F８に座る場合を考える。

(1)　同性どうしが隣り合わない座り方は何通りあるか？
＞F1,3,5,7にA1～A4が座る座り方：4!=24通り
F2,4,6,8にC1～C4が座る座り方：4!=24通り
よってF1に男性が座る場合の座り方：24*24=576通り
同様にF1に女性が座る場合の座り方：24*24=576通り
以上合計1152通り・・・答
(2)　(1)の座り方の中で、A1の両隣がC1とC2になる座り方は何通りあるか。　
＞C1A1C2がこの順にF1,2,3に座る場合にF4,6,8にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F5,7にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
C1A1C2がこの順にF2,3,4に座る場合にF1,5,7にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F6,8にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
C1A1C2がこの順にF3,4,5に座る場合にF2,6,8にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F1,7にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
C1A1C2がこの順にF4,5,6に座る場合にF1,3,7にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F2,8にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
C1A1C2がこの順にF5,6,7に座る場合にF2,4,8にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F1,3にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
C1A1C2がこの順にF6,7,8に座る場合にF1,3,5にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F2,4にC3,4が座る座り方：2!=2通り、計6*2=12通り
以上計12*6=72通り
同様にC2A1C1がこの順に座る座り方が72通りあるので、
以上合計72*2=144通り・・・答
(3)　(1)の座り方の中で、A1とC1が隣り合わない座り方は何通りあるか。
＞A1とC1が隣り合う座り方を考える。
A1C1がこの順にF1,2に座る場合にF3,5,7にA2,3,4が座る座り方：3!=6通り、
F4,6,8にC2,3,4が座る座り方：3!=6通り、計6^2=36通り
A1C1がこの順にF2,3、F3,4、F4,5、F5,6.、F6,7、F7,8に座る場合も同様に
各36通りあるので、計252通り
C1A1がこの順に座る座り方も252通りあるので、計504通り
よって、A1とC1が隣り合わない座り方は1152-504=648通り・・・答
問２　正7角形について、次の問いに答えよ。

(1)　対角線の総数を求めよ。
＞7C2-7=21-7=14本・・・答
(2)　対角線を2本選ぶ組み合わせは何通りあるか。
＞14C2=91通り・・・答
(3)　頂点を共有する2本の対角線は何組あるか。
＞(4C2)*7=42組・・・答
(4)　共有点をもたない2本の対角線は何組あるか。
＞7+7*2/2=14組・・・答
(5)　正7角形の内部で交わる2本の対角線は何組あるか。
＞(2)(3)(4)の答から91-42-14=35組・・・答
問３　Aが持っている袋の中には赤玉3個と白玉4個が入っており、
Bが持っている袋の中には赤玉5個と白玉6個が入っている。
AとBのそれぞれが同時に各自の袋の中から無造作に2個ずつ玉を取り出し、
玉の色を確かめてから、取りだした玉をそれぞれ元の袋に戻す、という試行を繰り返す。
同時に取り出された合計4個の玉の色が全て同じであれば、その時点で試行を終了する。ただし、試行は6回以上行わないとする。

(1)　1回目の試行で、Aの取り出す玉が2個とも赤玉となる確率を求めよ。
＞(3/7)*(2/6)=1/7・・・答
(2)　試行が1回で終了する確率を求めよ。
＞1回目の試行で、Bの取り出す玉が2個とも
赤玉となる確率は(5/11)*(4/10)=2/11
よって合計4個の玉の色が全て赤となる確率は
(1/7)*(2/11)=2/77。
1回目の試行で、Aの取り出す玉が2個とも
白玉となる確率は(4/7)*(3/6)=2/7
1回目の試行で、Bの取り出す玉が2個とも
白玉となる確率は(6/11)*(5/10)=3/11
よって合計4個の玉の色が全て白となる確率は
(2/7)*(3/11)=6/77
よって試行が1回で終了する確率は
2/77+6/77=8/77・・・答
(3)　試行がちょうど2回で終了する確率を求めよ。
＞試行が1回で終わらない確率=1-8/77=69/77
よって試行がちょうど2回で終了する確率は
(69/77)*(8/77)=552/5929・・・答
(4)　試行が3回以上続く確率を求めよ。
＞1-8/77-552/5929=4761/5929・・・答
問４　1，2，3，4の番号をつけた4枚のカードがある。この中からカードを1枚取り出しそこに書かれている番号を見る、という試行を繰り返す。但し、取り出したカードは元に戻さない。この試行は、取り出したカードに書かれた番号の合計が3の倍数になるか、又は4枚全部を取り出した時に終了する。
取り出したカードに書かれた番号の合計が3の倍数になった時、この試行は成功したと呼ぶ。4枚全部を取り出した時、この試行は失敗したと呼ぶ。この試行の得点Xは、成功した時は取り出したカードの枚数とし、失敗した時は0点とする。

(1)　確率P(X=1)およびP(X=2)を求めよ。
＞1枚目が3のときP(X=1)=1/4・・・答。
P(X=2)=2/6=1/3・・・答
(2)　この試行が成功する確率を求めよ。また、得点の平均(期待値)E(X)を求めよ。
＞P(X=3)を考える。(1枚目,2枚目,3枚目)が
(1,3,2)(2,3,1)(2,3,4)(4,3,2)のときにX=3となる。
よってP(X=3)=(1/4)*(1/3)*(1/2)*4=1/6
この試行が成功する確率はP(X=1)+P(X=2)+P(X=3)
=1/4+1/3+1/6=3/4・・・答
E(X)=1/4+(1/3)*2+(1/6)*3=17/12=1.416666・・・・・・・・・答
(3)　取り出したカードに書かれた番号の和が6となる確率を求めよ。更に、取り出したカードに書かれた番号の和が6であることがわかっているとき、X＝3である条件つき確率を求めよ。
＞番号の和が6となるのは(2,4)(4,2)(1,3,2)(2,3,1)の順で
カードを取り出したときであり、その確率は
(1/4)*(1/3)*2+(1/4)*(1/3)*(1/2)*2=1/4・・・答
番号の和が6となる確率(1/4)はX=2のときの確率(1/6)とX=3の
ときの確率(1/12)の和だから、取り出したカードに書かれた
番号の和が6であることがわかっているときのX＝3である
条件つき確率は(1/12)/{(1/12)+(1/6)}=1/3・・・答
問５　何人かの人をいくつかの部屋に分ける問題を考える。ただし、各部屋は十分大きく、定員については考慮しなくてよい。□の中にに数字をいれよ。

(1)　7人を二つの部屋A，Bに分ける。
　　(i)　部屋Aに3人、部屋Bに4人となるような分け方は全部で□=35通りある。
＞7C3=35通り・・・答
　　(ii)　どの部屋も1人以上になる分け方は全部で□=126通りある。そのうち、部屋Aの人数が奇数である　　　　 分け方は全部で□=63通りある。
＞(A1,B6):7C1=7通り、(A2,B5):7C2=21通り、(A3,B4):7C3=35通り、
(A4,B3):7C4=35通り、(A5,B2):7C5=21通り、(A6,B1):7C1=7通り
7*2+21*2+35*2=126通り・・・答
7+35+21=63通り・・・答
(2)　4人を三つの部屋にA，B，Cに分ける。どの部屋も1人以上になる分け方は全部で□=36通りある。
＞(A2,B1,C1):(4C2)*2=12通り、(A1,B2,C1):(4C2)*2=12通り、
(A1,B1,C2):(4C2)*2=12通り。12*3=36通り・・・答

次の問題の途中で文字数オーバーになるので、回答を分けます。

この回答へのお礼

yyssaa様

この度は貴重なお時間を取らせましてしまい、恐縮です。
本当にありがとう御座いました。
甥っ子も大変喜んでいました。
感謝！　感謝！

お礼日時：2014/05/08 00:24

No.3 ベストアンサー 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/05/07 22:09

回答No.2の続きです。

(3)　大人4人、子供3人の計7人を三つの部屋A，B，Cに分ける。
　　(i)　どの部屋も大人が1人以上になる分け方は全部で□=972通りある。そのうち、三つの部屋に子供3　　　　 人が1人ずつ入る分け方は全部で□=216通りである。
＞(A大2,B大1,C大1):(4C2)*2=12通り、(A大1,B大2,C大1):(4C2)*2=12通り、
(A大1,B大1,C大2):(4C2)*2=12通り、計36通り。
(A子3,B子0,C子0):1通り、(A子0,B子3,C子0):1通り、(A子0,B子0,C子3):1通り、
(A子2,B子1,C子0):(3C2)=3通り、(A子1,B子2,C子0):(3C2)=3通り、
(A子2,B子0,C子1):(3C2)=3通り、(A子1,B子0,C子2):(3C2)=3通り、
(A子0,B子2,C子1):(3C2)=3通り、(A子0,B子1,C子2):(3C2)=3通り、
(A子1,B子1,C子1):3!=6通り、計3+3*6+6=27通り。
よって36*27=972通り・・・答
36*6=216通り・・・答　　
　　(ii)　どの部屋も大人が1人以上で、かつ、各部屋とも2人以上になる分け方は全部で□=432通りある。
＞(A大2,B大1,C大1):(4C2)*2=12通りの場合、子供は
(A子0,B子2,C子1):(3C2)=3通り、(A子0,B子1,C子2):(3C2)=3通り、
(A子1,B子1,C子1):3!=6通り、計12通りだから12*12=144通り。
(A大1,B大2,C大1)、(A大1,B大1,C大2)の場合も各144通り。
よって144*3=432通り・・・答

この回答へのお礼

yyssaa様

度々お世話になりました。
心底より、感謝致します。

お礼日時：2014/05/08 00:40