バネ振動系の角周波数

2Nの力で引っ張ると50cm伸びるバネに、質量500gの質点を付けてバネ振動系を作る。この振動系の角周波数を求めよ。

という問題があるのですが、答えが2√2 rad/sで、その導出方法が分かりません(._.)

どなたかわかる方教えてください…
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： Tann3 回答日時： 2014/06/03 22:35

　答は前の解答者さんのとおりですが、質問者さんはどこまでわかっていて、どこがわからなかったのでしょうか？　きちんと「わからないこと」を書いて質問しましょう。

　問題は、３つに分かれますね。
（１）このばねの特性は？　（具体的には「ばね定数」がどうなっているか）
（２）そのばね特性で、引っ張って離したときの自由振動の特性を導き出す。（周期or振動数）
（３）その自由振動の特性（周期or振動数）から「角周波数」を求める。

　この３つのステップで解く、という「解決プロセス」が分からないということですか？　それとも「角周波数」の意味が分からない？

　少し長くなりますが、順番にやってみましょう。ご自分で紙に書いてトレースしてみてください。

（１）は、「2Nの力で引っ張ると50cm伸びるバネ」から簡単に求まります。（引っ張った力）＝－（復元力）です。
　　（ばねの復元力）＝－（ばね定数）×（伸びた長さ）
　　　F = -kx
です。ばね定数をｋ、単位をＭＫＳで統一するため、伸びた長さ x はｍ（メートル）で表記しましょう。
　　2(N) = k × 0.5(m)
　　∴　k = 4 (N/m)
　　従って、このばねの運動方程式は、
　　　F = -4 x　　　　　　　　　　（Ａ）

（２）では、このばねを使った運動の様子を調べます。
　ばねに付けたおもりの質量をm(kg)とすると（単位をＭＫＳで統一）、加速度をaと書くと、おもりの運動方程式は

　　F = ma = m・(dv/dt) = m・(d^2x/dt^2)　　　　（Ｂ）

　ばねでは、この力 F が（Ａ）なので、

　　m・(d^2x/dt^2) = -4 x

ということになります。m=0.5kgなので

　　d^2x/dt^2 = -8 x

　これを解けば、C、φを定数として、

　　x = C・sin(√8・t + φ）　　　　（Ｃ）

となります。（ここは積分を使いましたが、よろしいですね？）

（３）これから、この振動の「角周波数」を求めます。

　サイン波は、０～2π（ラジアン）で1周期（振動1つ分）ですから、この振動の振動数をｆとすると、「√8・t 」の項は1秒間に０→２πｆ（ラジアン）ずつ進むことになります（２πをｆ回通過する）。
　ｔ＝１（秒）のときに２πｆですから、

　　　　　２πｆ＝√8
　　　　　ｆ＝√8／２π　　　　（Ｄ）

ということになります。
　振動数を「角度」で表したものが「角振動数（角周波数）」です。話の順番が逆になりますが、ばねがｆ回振動する間に、（Ｃ）式の角度は２πｆ（ラジアン）進んでいましたね。この「２πｆ（ラジアン）」が角周波数です。

　ということで、（Ｄ）より

　　　角周波数　＝　√8　＝　2√2　（ラジアン）

となります。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/06/03 19:11

運動方程式は

m・d^2x/dx^2 = -kx

天下りですが、解をサイン波とするとうまくゆくことが
わかっているので、

x = a・sinωt として、(x = a・sinωt + b・cosωt などとしても同じこと)

-maω^2・sinωt = -k・a・sinωt　→ mω^2=k
→ω=√(k/m)

k = 2 N / 0.5 m = 4 N/m
m = 0.5 m

従って

ω=√(4 / 0.5)=√(8) = 2√(2) rad/s

No.1 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2014/06/03 15:36

F=kx

→k=F/x=2/0.5=4
この時のエネルギーは
E=(1/2)kx^2=0.5

また、振動子のエネルギーは
E=(1/2)m(ωx)^2=0.5
∴ω=1/x√m

m=0.5[kg]、x=0.5[m]を代入すると
ω=1/0.5√0.5=2√(1/0.5)=2√2