.(問題)
曲線y=e^(-x)sinx(x≧0)とx軸に囲まれた図形で、x軸の上側にある部分の面積をy軸に近いほうから順にS0、S1、S2,,,Sn、、、とするとき、lim(n→∞)Σ(k=0~n)Skを求めよ。(問題の解説というより、その解答の書き方、記号(変数)の使い方について聞きたいです)
(疑問)
考え方と書いてある行のΣをどのように考えて変形しているのか知りたいです。教えてください。
私はたとえばΣ(k=0~n)e^-(2k+1)πなら、
k=0、k=1を具体的に考えて、公比をもとめ、k=0として、初項をもとめ、というところまでできたのですが、全部で何項あるのかがわかりませんでした。
No.1
- 回答日時:
ノートに何が書いてあるのかよくわかりませんが題意に沿って計算すれば結果につながります。
Sk=∫(2kπ→2kπ+π)[e^(-x)sin(x)]dx
はわかりますか。
e^(-x)sin(x)の原始関数は-e^(-x)[sin(x)+cos(x)]/2であることは導けますか。
よって
Sk=[e^(-π)+1](1/2)e^(-2kπ)
これは公比e^(-2π)、初項[e^(-π)+1]/2の等比級数
lim(n→∞)Σ(k=0~n)Sk=lim(n→∞)(1/2)[e^(-π)+1][1-e^(-2(n+1)π)]/[1-e^(-2π)]
=(1/2)[e^(-π)+1]/[1-e^(-2π)]=(1/2)/[1-e^(-π)]
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