数学の最大値、最小値の計算問題です。

ｘ、ｙ、ｚ、uは１、２、３、４の４つの数を並べかえたものとする。 y²＋２ｙｚ＋z²＋xy+zu＋yu＋ｘｚ＋xuの最大値と最小値を求めなさい。（解説もよろしくお願いします）

No.1 ベストアンサー 回答者： mshr1962 回答日時： 2014/07/26 18:01

y²＋２ｙｚ＋z²＋xy+zu＋yu＋ｘｚ＋xu

↓ y²＋２ｙｚ＋z²=(y+z)²

(y+z)²－yz＋{yz＋xy+zu＋yu＋ｘｚ＋xu}

↓　yz＋xy+zu＋yu＋ｘｚ＋xuは変数に関わらず、全ての組合せの積の和だから計算可能

(y+z)²－yz＋{1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4}

↓　1×2＋1×3＋1×4＋2×3＋2×4＋3×4=35

(y+z)²－yz＋35

↓後は残った変数y,zのみに数値をいれて計算

最小値はy=1,z=2 or y=2,z=1で42
最大値はy=3,z=4 or y=4,z=3で72

この回答へのお礼

式の最初をそのように変形するのですね、どうも有難うございました。

お礼日時：2014/07/27 00:26

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/07/26 18:09

与えられた式の値をＳとすると、

Ｓ＝（ｙ＋ｚ）＾２＋ｕ（ｙ＋ｚ）＋ｘ（ｙ＋ｚ）＋ｘｕ
　＝（ｙ＋ｚ）（ｕ＋ｘ＋ｙ＋ｚ）＋ｘｕ
　＝１０（ｙ＋ｚ）＋ｘｕ
　＝１０（１０－（ｘ＋ｕ））＋ｘｕ
　＝（ｘ－１０）（ｕ－１０）
これが最大になるのはｘ，ｕに出来るだけ小さい数を入れたとき、つまり
ｘ＝１、ｕ＝２（あるいはその逆）のとき。
逆に最小になるのはｘ，ｕに出来るだけ大きな数を入れたとき、つまり
ｘ＝３，ｕ＝４（あるいはその逆）のとき。

この回答へのお礼

なかなか浮かびませんでしたが、そのように因数分解できれば、後は楽ですね。どうも有難うございました。

お礼日時：2014/07/27 00:28

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/07/26 18:16

yz＋xy+zu＋yu＋xz＋xu は x, y, z u に対して完全に対称だから、

1, 2, 3, 4 をどう入れても変わりません。

これを計算すると

1x2+1x3+1x4+2x3+2x4+3x4 = 35

すると残りの y^2 + yz + z^2 は y と z に関して対称なので、4C2=6通り試せばよい。

y=1, z=2 ⇒ 7
y=1, z=3 ⇒ 13
y=1, z=4 ⇒ 21
y=2, z=3 ⇒ 19
y=2, z=4 ⇒ 28
y=3, z=4 ⇒ 37

以上から最小値 = 42, 最大値 = 72

この回答へのお礼

６通りの計算も示していただいて、どうも有難うございました。

お礼日時：2014/07/27 00:30

No.4 回答者： think2nd 回答日時： 2014/07/26 20:35

まったくのクイズ問題で、ゲームですね。

　解法のよりどころ(作戦)はたとえば・・
すべて正の数のときm=a+b+cとn=a+b+dがあって
この2つを掛け合わせたmnを最大にするためには、n,mにある共通なa+bを最大にすればいいんじゃないかな。
だから高校で習った次数の低いxで因数分解すれば与式は
　x(y+z+u)+(y+z)^2+u(z+y)
=(x+y+z)(y+z+u)
と因数分解できる。
　この値を最大にするにはy+zを最大にすればいいので3と4を使って
　　y+z=7とするからxとuがいやでも1か2を取ることになる。よって最大値は(7+1)(7+2)=72
　最小値も同じアイデアを使うから、考えてみてください。(大きい数を２か所では使わないこと)

この回答へのお礼

どうも有難うございました。

お礼日時：2014/07/27 00:31

No.5 回答者： staratras 回答日時： 2014/07/26 21:45

図を描いて考えてみるとわかりやすいと思います。

下の図のx,y,z,uにそれぞれ1,2,3,4のどれかを入れると考えます。

ここでy^2+2yz+z^2＋xy+zu＋yu＋xz＋xuのうち、x,y,z.uから2つずつをとって作った積6個の和yz＋xy+zu＋yu＋xz＋xuは1.2.3,4をどのように入れ替えても変わりません。(図の青い線)　この値は1×2+1×3+1×4+2×3+2×4+3×4=35

変化するのは残りのy^2+yz+z^2だけです。(図の赤い線）

これが最大となるのは当然1,2,3,4のうち最大の4と2番目に大きい3をy,z(順不同)に入れた場合です。このときy^2+yz+z^2=37　だから最大値は合計72です。

y2＋yz＋z2が最小となるのは1,2,3,4のうち最小の1と2番目に小さい2をy,z(順不同)に入れた場合です。このときy^2+yz+z^2=7　だから最大値は合計42です。

この回答へのお礼

図にもしていただいて、どうも有難うございました。

お礼日時：2014/07/27 00:32

No.6 回答者： staratras 回答日時： 2014/07/26 21:49

No.5です。

回答の末尾の誤記の訂正です。失礼しました。

誤：y^2+yz+z^2=7　だから最大値は合計42です。

正：y^2+yz+z^2=7　だから最小値は合計42です。