高校数学の不等式の問題です

nは25以上の定数、x,y,zは負でない整数でx+y+z=25のとき、(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)の最大値を求めよ

解説はたとえばx-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより

大きくすることが出来る、したがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるが
そうなる{x,y,z}の組は{8,8,9}しかありえない　

とあるのですが、x-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより大きくすることが出来るとありますが、これが何故そんな事が言えるのかまったく分からないです

その後のしたがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるも何故なのか分かりません

是非とも詳しい解説のほうよろしくお願いします

No.39 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/31 23:48

#38です。

＞無視なんかしてないですよ

整数変数の量の最大最小を評価するための
常套手段であるのは、実変数の関数の最大
最小を評価するのに微分法を用いるとうまく
いくことがあるのに似ているということ。

整数変数のときはよく使うので「なぜ差分
をしようと思ったか」なんて哲学的なこと
を考えたりしない。そんなの時間の無駄と
はいわないけど少なくとも数学的な営みで
はなく哲学とかそっち方面の話。

実変数の関数の最大最小を評価するのに微
分法が万能というわけではなく、必ずしも
いつも使えるわけではない。

それを受けてあなたがこの問題の解法として
なぜ微分を使わないのかと問うのはトンチン
カン。そういうことを言ってるのではない。


＞>整数変数と書いたんだけど。
＞>そう仮定したのをなぜとか聞くのはおかしい。
＞この問題を解く時にその仮定をするのは
＞何故なんですか？

話があなたの中でごちゃごちゃになっている
と思う。平均変化率はあくまで#33のなか
のF(n)の話。この質問の問題とは関係ない。

ちなみにこの質問の問題でx,y,zを整数でな
く実数範囲まで拡大して微分法を無理やり
使うということは考えうる。しかし処理した
あと整数という条件を戻さないといけないし、
多変数の微積分になって高校レベルを超える。
差分ならわりと簡単に処理できるのにわざわざ
問題を難しくする必要はない。

差分を取るのがしっくりこないのはなぜ差分
をとるかがわからないからではなく、差分を
とったあとの解法をあなたがしっかり理解
できていなくてその有用性を実感できない
からだろうと推測。場数踏まないと感覚が
掴めないかもしれない。


＞整数だったらなんでもいいわけじゃないの
＞ですか？

どういう意味？

※もう夜遅いので今日はここまで

この回答への補足

>どういう意味？
x,y,zは負でない整数ってあるから全部整数で考えていいのかと思って

補足日時：2014/09/01 16:44

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/09/01 16:44

No.38 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/31 22:53

＞そんな事はない、きっと思い立つに

＞至る理由はあるものです

私は（他の人も）何度か答えてますが
あなたは無視してますよね。
（何を無視したかなんて聞かないでね）

＞>hは整数だから0<h<1にはならない。
＞hは0より大きいのですか？整数だけ
＞だったら負の数も入りそうですが、
＞そもそもhはなんで整数である必要が
＞あるんですか？

#33で整数変数と書いたんだけど。
そう仮定したのをなぜとか聞くのはおかしい。

＞それだったら家庭教師じゃなく
＞基礎的な問題集を見直せばいい
＞のです、勿論それはやってますが

なんだかずいぶん尊大な物の言い方。
ご本人としては基礎力は十分にあるという
認識なんですね・・・・・・驚きました。

この回答への補足

>あなたは無視してますよね。
無視なんかしてないですよ、こちらからしたら多分その解説だと納得できないか理解できないのだと思います

>整数変数と書いたんだけど。
>そう仮定したのをなぜとか聞くのはおかしい。
この問題を解く時にその仮定をするのは何故なんですか？
整数だったらなんでもいいわけじゃないのですか？

>なんだかずいぶん尊大な物の言い方。
>ご本人としては基礎力は十分にあるという
>認識なんですね
いえ、基礎力や学力があれば質問等しないですよ、前にも書きましたが例えやっても自力で出来た問題以外はすぐ忘れるのです、だから例え確認してもすぐ忘れるんです

補足日時：2014/08/31 23:13

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 23:13

No.37 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/31 22:12

＞試行錯誤の部分

そんなものは存在しない。
あなたは幻影を追いかけているのです。

＞hが1より小さくなれないとか

hは整数だから0<h<1にはならない。

＞来たときだけしか質問が出来ない

そうですか。
あなたは圧倒的に基礎が足りてない
ようにみえます。それを解消する必要
があると思って提案したまで。

この回答への補足

>あなたは幻影を追いかけているのです。
そんな事はない、きっと思い立つに至る理由はあるものです

>hは整数だから0<h<1にはならない。
hは0より大きいのですか？整数だけだったら負の数も入りそうですが、そもそもhはなんで整数である必要があるんですか？

>圧倒的に基礎が足りてない
>ようにみえます。それを解消する必要
>があると思って提案したまで。
それだったら家庭教師じゃなくて基礎的な問題集を見直せばいいのです、勿論それはやってますが

補足日時：2014/08/31 22:28

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 22:28

No.36 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/31 21:30

あのねぇ。

この問題に微分が使えるかどうか考える
というのは、チェスの試合に五目並べの
定石が使えるかどうか検討するような
ものなんですよ。

あなたは候補として微分という手段が
あって検討の結果使えないことがわかっ
たので他の手段の検討に入ったと考えて
いるみたいだけど、全然違うのよ。

＞そして微分を使う貴方の説明

この問題に微分を使うなんて一言も
言ってないけど。

微分という言葉を持ちだしたのはあなたは
おそらく関数の極大極小を評価するのに
微分を利用することについては知っている
だろうと思って言及しただけ。だからそれに
ついて説明を求められちゃうと困る。

＞差分を取るなんて何でやるの？

変数が整数値であるような量の最大最小
問題を考えるときの常套手段。

数学の問題の解法はひと通りにすぐ
に決められるものではない。それを
料理するための道具の一つ。

夏前くらいからあなたの質問にいくつか
回答つけてきたのですけど、お金払って
プロの家庭教師かなにか雇ったほうが
よいと思います。

この回答への補足

>変数が整数値であるような量の最大最小
>問題を考えるときの常套手段。
どうやら、何度聞いても、これは定石なんだという回答以外は得られないようですね、知りたいのはそれをやろうと思うまでの試行錯誤の部分なんですが

>この問題に微分を使うなんて一言も
>言ってないけど。
微分を使っても無理って事ですよね、でも無理な理由を説明していただいてますが分からないわけです、hが1より小さくなれないとか、その理由を教えてくださいと言っているのです

>お金払ってプロの家庭教師かなにか雇ったほうが
>よいと思います。
家庭教師は高すぎます、家庭教師という勉強の仕方もやりたくないです、来たときだけしか質問が出来ない

補足日時：2014/08/31 21:48

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 21:48

No.35 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/31 20:24

#33です。

＞これどういう事なのか良く分かりません

hは1より小さい値取れないから0に近づけ
ないのよ。そういわれても理解できないの
ですか？

というか質問と関係ないんだけど微分の
説明聞きたいんですか？


＞知りたいのはxを何故x-1にしたのか
＞zを何故z+1にしたのかです

だから差分をとっていると何度も何度も
言っている。一体何が気に入らないんで
しょう？

この回答への補足

>hは1より小さい値取れないから0に近づけ
>ないのよ。
hはなんで1より小さい値を取れないのですか？

>質問と関係ないんだけど微分の
>説明聞きたいんですか？
微分だけそのもの自体は関係ないかもしれないですが、微分をするという選択を取るかもしれないということはこの問題と関係しています、そして微分を使う貴方の説明が分からないので、是非説明をお願いしたいです

>差分をとっていると何度も何度も
>言っている。一体何が気に入らないんで
>しょう？
差分を取るなんて何でやるの？って感じなんです,よかったら
あなたがまずこの問題を解くとして最初はこうやってみようみたいな所から始まって

x-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくしてみようと言う所まで書いてくださりませんか？

補足日時：2014/08/31 20:51

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 20:51

No.34 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/31 19:18

>それでは覚えただけになります、まったく同じか数値を変えたくらいの変化しかない

>問題以外にはその解法が使えないということになります、

覚えただけでは無意味というのは確かにその通り。
人間には応用カがあります。

教わった解法に何の解釈も加えず、何の一般化もせず、かチガチに覚えるだけでは
先はありません。この解法の一般化の話もすでに何ども何ども話が出ていますが
そうしたことを考えておかねば応用は限られます。

この回答への補足

>この解法の一般化の話もすでに何ども何ども話が出ていますが
>そうしたことを考えておかねば応用は限られます。
結局"x-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくする"

はどうやってそのようにしようとすることになったかを試行錯誤の過程を具体的な数値を代入したりしてお示しいただきたいのですが、無理なのでしょうか、

まずx+y+z=25に何か数値を代入して、うーん、これでは無理そうだな、じゃあこうやってみたら出来るのかなみたいな風にお示しいただきたい

補足日時：2014/08/31 19:55

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 19:56

No.33 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/31 18:40

＞>x,y,zは

＞>整数なので微分できない
＞整数だったら何で微分でき
＞ないんですか？

その疑問が湧くということは
微分法を全く知らないということ
ですね。
#30の補足に微分とあなたが書いた
から知ってるのかと思ってました。

全く知らない人に微分法を最初
からここで説明するのは困難だし
この問題と関係ないので教科書と
か自分でみてください。直接的には
整数変数整数値関数F(n)を考えて
平均変化率{F(n+h)-F(n)}/h
の極限をとりたくても
nもn+hも整数しかとれないから
hを1より小さくできない。
単純にいうとこういうことです。

＞>だけど単純に差分をとるとx+y+z=25という
＞>制約条件にひっかかる
＞どういうことですか？差分て何と
＞何の差を取ったのですか？

おやおや、また記憶がリセットされ
てしまいましたか？

たとえばx+y+z=25というx,y,zを一組
固定してこのうち一つの変数、たとえ
ばxだけ1動かすと、

(x+1)+y+z=(x+y+z)+1=25+1=26

になってしまいます。
これは条件にあいません。

何と何の差をとったかというと、
#1とか#27とかを参照。

同じことここに書く必要ありませんよね？

＞>うごかしたらx+y+z=25を
＞>保つように別の変数（たとえばy）を補正する。
＞もっと具体的にお願いします、どう
＞いう事なのか分かりません

上記参照。
そもそも質問文にあなた自身が
「yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きく」
と書いてるのになぜ聞くんだろう？

＞>何度も書いたように上記の差分
＞>を計算するとそういう式がでてくるので、
＞>それで場合分けするのは自然。
＞具体的に数値を代入してみたり
＞してお願いします、何をやろう
＞としているのか分かりません

#27参照。

＞>そこで「こんな
＞>考え方するんだすごいな」と思うか「ああ
＞>自分にはムリだ」と思うかが分かれ目。
＞勿論自分は前者であり、それを
＞吸収しようとします

そうですか。まあ、がんばって。

＞>知識が増えないわけ
＞>だから実力が向上するはずないし勉強す
＞>る意味ないもの。
＞理解した問題でも何回もやるのは
＞重要ですよ、一回理解しても自力
＞で解いた問題以外はすぐ忘れます
＞から、何回もやらないと自然に出
＞てきません、考えて解けるでは使
＞い物になりません

助け舟だしたつもりだったんだけど
そうとられたか（苦笑）。

どうとでも好きな様にやってください。
失敗して困るのは回答者ではないので。

この回答への補足

>その疑問が湧くということは
>微分法を全く知らないということ
>ですね。
y=x^2とかの関数があってこれをxで微分したら2xとかそんな事くらいは分かります、最大値とかを出す時も微分を使うのは普通です

>{F(n+h)-F(n)}/h
>の極限をとりたくても
>nもn+hも整数しかとれないから
>hを1より小さくできない。
これどういう事なのか良く分かりません

>#1とか#27とかを参照。
見直しましたが27では

(1-((x-1)/n))(1-(y/n))(1-((z+1)/n))-(1-(x/n))(1-(y/n))(1-(z/n))
=(1/n)(1-(y/n))((x-z-2)/n)+(1/n)(1-(y/n))(1/n)

とありましたがこれが既にxにx-1をzにz+1にしたものから元の式を引いています、知りたいのはxを何故x-1にしたのかzを何故z+1にしたのかです

>「yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きく」
>と書いてるのになぜ聞くんだろう？
それは解説に書いてあった事をそのまま書いただけで、そこから何故始めるのですか？と聞いているのです

>助け舟だしたつもりだったんだけど
>そうとられたか（苦笑）。
そうとるというか経験で書きました、すぐ忘れるんです本当に

補足日時：2014/08/31 19:52

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 19:52

No.32 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/31 10:55

>こういう思いついた経緯を理解していかないとただ

>式だけ見てそうだなぁと分かっても全然意味が無いと思います

とんでもないです。こういう場合にこういう手法で解けたという
こと自体が大きな財産なんですよ。経緯なんてたいした意味はないんです。
なるほどと思えばそれで充分。

次に似たような問題を解くとき、うまくいった手法を
思いだせればよいのですよ。

今回の手法の要旨は

・微分の代わりに差分を使って最大値にせまると
うまくゆくことがある。

かな。微分しらないと、発想自体が理解できないかも
しれないけど。

経験がなければ誰だって長い時間をかけて悩むしかないんです。
試行錯誤のネタすら持っていなければ、とんでもない時間が
かかります。

この回答への補足

＞経緯なんてたいした意味はないんです。
＞なるほどと思えばそれで充分。
それでは覚えただけになります、まったく同じか数値を変えたくらいの変化しかない問題以外にはその解法が使えないということになります、何故その解法で解き始めるに至ったか、これを押さえないと定期テストじゃないんですから、出来るようになりません

>微分の代わりに差分を使って最大値にせまると
>うまくゆくことがある。
それはもう一人の方も仰ってますが、具体的な数値で試行錯誤してたどり着くまでを書いていただいてもいいですか？一体何をやろうとしているのか見えてきません

補足日時：2014/08/31 17:22

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 17:22

No.31 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/31 07:09

＞出来れば理屈を知りたかったですが

＞f(x,y,z)の関数と見てどれか文字を固定
＞してから微分でもしてみようかな位には
＞思いますが

そう思うのは悪いことではなくて、x,y,zは
整数なので微分できないから差分をとる
んです。数列で階差数列というのあります
よね？あの考え方。

だけど単純に差分をとるとx+y+z=25という
制約条件にひっかかるから一つの変数
（たとえばx）をうごかしたらx+y+z=25を
保つように別の変数（たとえばy）を補正する。

これは自然な流れです。

＞結局あのx-z≧2 の時を考えてみようと
＞はなら無かったです

これは何度も書いたように上記の差分
を計算するとそういう式がでてくるので、
それで場合分けするのは自然。

だから理屈でないなんてことは全然ないし、
突飛な発想でも全然ない。

だけど、差分を取るのが必然というわけ
でもない。このやり方でなければならない
ということはない。この問題の場合はそれ
でうまくいくというだけ。

大学受験程度のレベルだとあんまりない
んだけど数学を勉強していくと今までの
自分になかった発想に出くわして面食ら
うことはあるんですよ。そこで「こんな
考え方するんだすごいな」と思うか「ああ
自分にはムリだ」と思うかが分かれ目。
自分にない発想に遭遇したら新しい
知識を得るチャンスと思うべき。

だって問題解いていて常に今までの知識
だけで解けていたら知識が増えないわけ
だから実力が向上するはずないし勉強す
る意味ないもの。

この回答への補足

>x,y,zは
>整数なので微分できない
整数だったら何で微分できないんですか？

>だけど単純に差分をとるとx+y+z=25という
>制約条件にひっかかる
どういうことですか？差分て何と何の差を取ったのですか？

>うごかしたらx+y+z=25を
>保つように別の変数（たとえばy）を補正する。
もっと具体的にお願いします、どういう事なのか分かりません

>何度も書いたように上記の差分
>を計算するとそういう式がでてくるので、
>それで場合分けするのは自然。
具体的に数値を代入してみたりしてお願いします、何をやろうとしているのか分かりません

>そこで「こんな
>考え方するんだすごいな」と思うか「ああ
>自分にはムリだ」と思うかが分かれ目。
勿論自分は前者であり、それを吸収しようとします

>知識が増えないわけ
>だから実力が向上するはずないし勉強す
>る意味ないもの。
理解した問題でも何回もやるのは重要ですよ、一回理解しても自力で解いた問題以外はすぐ忘れますから、何回もやらないと自然に出てきません、考えて解けるでは使い物になりません

補足日時：2014/08/31 17:15

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 17:15

No.30 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/31 03:06

>>×―z≧2 はxをいろいろと変化させ与式がどう変化するか探>った

>>結果でしょう
>これもっと具体的にどうやってたどり着いたんですか？

そのまんまです。具体的な値を入れて傾向を見る。
予想を立て検証する。実際手を動かさないと
何も始まりません。

この回答への補足

>そのまんまです。具体的な値を入れて傾向を見る。
まず条件式がx+y+z=25なわけです、その上で(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)これの最大値なわけですよね、

これでどういう値を入れていこうとまず思いますか、ここからどういう予想を立てようと思いますか、教えてください、

自分はまったく何をやったらいいか分からなかったです、しいて言うと(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)

をf(x,y,z)の関数と見てどれか文字を固定してから微分でもしてみようかな位には思いますが、結局あのx-z≧2 の時を考えてみようとはなら無かったです、どうやってなったのか教えてもらいたいです,

こういう思いついた経緯を理解していかないとただ式だけ見てそうだなぁと分かっても全然意味が無いと思います

補足日時：2014/08/31 03:31

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 03:31