高校数学の不等式の問題です

nは25以上の定数、x,y,zは負でない整数でx+y+z=25のとき、(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)の最大値を求めよ

解説はたとえばx-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより

大きくすることが出来る、したがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるが
そうなる{x,y,z}の組は{8,8,9}しかありえない　

とあるのですが、x-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくすることによって与式をより大きくすることが出来るとありますが、これが何故そんな事が言えるのかまったく分からないです

その後のしたがって3数x,y,zのどの2数の差も1以下のとき与式は最大となるも何故なのか分かりません

是非とも詳しい解説のほうよろしくお願いします

No.29 回答者： tknakamuri 回答日時： 2014/08/31 00:20

>ｘを1小さくzを1大きくするが分かった上でやってる事ですよね、

>今知りたいのはその式以前のx-z>=2とすると,yをそのままにし、
>ｘを1小さくzを1大きくしようとしたのは何でなのかって事なんですよ

う~ん知りたいことが伝わってこないですね。

ひょっとすると、数学では、問題があたえられると
それを解く手法も必然的かつ自動的に決まり、アイデアを
試すなんてことは不要と考えている?

×+y+z=25という条件で闇雲にさがすのは大変そうだから、まず、1個の値
を固定して、2個の和がー定になるように変化させたらどうなるか
という点から始めてみるのは、よくやる手法。

×―z≧2 はxをいろいろと変化させ与式がどう変化するか探った
結果でしょう。簡単にはでてきません。地道な観察が必要です。

そしてこれらの手法がうまくゆくとは
かぎりませんか、この問題では、たまたまうまくゆく。それだけ。

何故その手法をえらんだのか聞いても無意味です。

様々な手法を武器に取り揃えて、良きそうなものを経験と直感で
選択して試行錯誤で試して行くのが、問題を解くということです。

この回答への補足

>数学では、問題があたえられると
>それを解く手法も必然的かつ自動的に決まり、アイデアを
>試すなんてことは不要と考えている?
定石というかよく出る問題なんかは解き方を知ってるわけですから、スラスラと手法が決まっていくと思いますが、

問題集なんかに載っていないような問題はその場で考えていくしかないかと思いますが、自分で考えるにしてもアイデアが思い浮かばないからこうなったら出来そうって所から当てはめていきますね、

それでも無理だったら上手く思い浮かばなかったら無利ですね

>×―z≧2 はxをいろいろと変化させ与式がどう変化するか探>った
>結果でしょう
これもっと具体的にどうやってたどり着いたんですか？

補足日時：2014/08/31 01:18

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 01:18

No.28 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/30 23:22

#27です。

＞ｘを1小さくzを1大きくしようとしたのは
＞何でなのかって事なんですよ

常套手段としかいいようがないです。

前にも書きましたが微分して増減を
調べるのと同じ。

x+y+z=25という制限がついていて
独立してxだけ1動かすということが
できないから2つ動かしているに過
ぎません。

あなたが知らないだけでわりとポピュ
ラーな方法。それがわかっただけで
もこの問題をやった価値があったと
思うことにしましょう。

この回答への補足

>常套手段としかいいようがないです。
そうなんですね、自分は初めて見るタイプの解き方なので

どうやって思いついたんだって思いましたが、常識だったという話なんですね、出来れば理屈を知りたかったですが

補足日時：2014/08/31 03:34

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/31 04:55

No.27 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/30 22:44

＞これはどこから出てきたんですか？

(1-((x-1)/n))(1-(y/n))(1-((z+1)/n))-(1-(x/n))(1-(y/n))(1-(z/n))
=(1/n)(1-(y/n))((x-z-2)/n)+(1/n)(1-(y/n))(1/n)

この回答への補足

うーん、やっぱりそれを変形させたんですね、それだったら

ｘを1小さくzを1大きくするが分かった上でやってる事ですよね、今知りたいのはその式以前のx-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくしようとしたのは何でなのかって事なんですよ

補足日時：2014/08/30 23:02

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/30 23:03

No.26 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/30 21:01

#25補足について。

＞でもこれだけではx-z>=2とすると,
＞yをそのままにし、ｘを1小さくzを
＞1大きくするというのに繋がらない
＞です

実際1ずらすと大きくなるのかどうか
計算してみたのですよね？ご自分で
計算してないのではないですか？

なぜなら、もし計算したなら因数分解
して

(1/n)(1-(y/n))((x-z-2)/n)

となるからx-z≧2なら大きくなると
わかるので。

＞何か理由があるはずです

まるで初めて疑問に思ったような口ぶ
りですね。

過去にやったことを忘れちゃったのは
未解決の問題が残っているのに次々に
別の質問を立てて話があっちこっち
飛んでしまってわからなくなってる
ということはありませんか？

＞同じような問題が出た時に絶対自分
＞で出来ないですよね

そうです。問題集はそのためにやる
もの。あなたは今その問題に遭遇し
ているわけだがらここで学習しましょ
うよ。

それに、自分で解答を作るという作業
をしないと本当に理解はできないし
身につかないです。ここのサイトに
寄せられた回答をみたり参考書の解説
をみただけでは身につきません。

＞>発想の仕方とか幾何学的な
＞そこも分かってないと自分で同じよ
＞うな問題に対応できないので、分かっ
＞た上で何度も自分で解きなおした方が
＞いいと思います

間違い。自分で答案を作るという作業
をしながら理解に努めましょう。

＞突飛な解法

この質問の問題ででてくる解法は突飛
ではありません。あなたの力量の問題で
そうみえるだけです。オーソドックスと
#11に書いたのはそういう意味。

この回答への補足

>実際1ずらすと大きくなるのかどうか
>計算してみたのですよね？ご自分で
>計算してないのではないですか？
勿論やりましたよ、結果は分かってるんですよ、分からないのは何でそれをやろうと思ったかなのです

>(1/n)(1-(y/n))((x-z-2)/n)
>となるからx-z≧2なら大きくなると
>わかるので。
これはどこから出てきたんですか？

(1-x/n)(1-y/n)(1-z/n)を変形させたんですか？

>未解決の問題が残っているのに次々に
>別の質問を立てて話があっちこっち
>飛んでしまってわからなくなってる
>ということはありませんか？
それはないです

>こで学習しましょうよ。
はい、勿論です

>自分で解答を作るという作業
>をしないと本当に理解はできないし
>身につかないです。ここのサイトに
>寄せられた回答をみたり参考書の解説
>をみただけでは身につきません。
勿論ですよ、でも取り合えず理解しないと自分でやるにしても効果がなくなりますよね

>間違い。自分で答案を作るという作業
>をしながら理解に努めましょう。
間違いなのですか？理解したうえで何度もやったほうが良くないですか？やりながら頭の中でやり方を思い出しながら解く訳です

>この質問の問題ででてくる解法は突飛
>ではありません。あなたの力量の問題で
>そうみえるだけです。
今突飛に見えていても何でそうなるか分かればオーソドックスに思えると思います

補足日時：2014/08/30 21:23

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/30 21:23

No.25 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/30 19:56

＞そもそもx-z>=2とすると,yをそのままにし、

＞ｘを1小さくzを1大きくするというのをやろ
＞うとおもったのは何故なのですか？

ええっ？そこ蒸し返すんですか？
#6の前半に書きました。


＞ではその立体とかはどうやってPCで作って

ソフトっていっても#18で添付したのは
PowerPointだからグラフを描くための
ものではないです。くれぐれもPowerPoint
を用意しようとは思わないでください。


＞解説が理解できていないのに意味無いん
＞じゃないですか？

ん？まだ理解できてないんですか？

でもこのところあなたからでてくる疑問
というのは発想の仕方とか幾何学的な
イメージとかであって解法そのものに
ついてのものではないですよね？
発想があなたにないならそれをこの問題
を通してこういう発想もあるものなのだな
と学べばいいのです。「意味無いんじゃな
いんですか？」などと回答者に向かって
いうのは失礼ではないかな？

この回答への補足

>#6の前半に書きました。

"与式を最大にするのがいつなのか
を知りたいわけですからx+y+z=25
という制約条件のなかで変数を
少し動かすとどういう変化をするのか
を調べるのは有力です。"これの事ですね、うーん、

でもこれだけではx-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくするというのに繋がらないです、特に何で1小さくや1大きくとか、何か理由があるはずです

>PowerPoint
>を用意しようとは思わないでください。
分かりました

>ん？まだ理解できてないんですか？
x-z>=2とすると,yをそのままにし、
ｘを1小さくzを1大きくするという事を前提に考えると解説は理解できましたが、

これが何でやろうと思ったのか分からないと何かスッキリしないですね、そこが分からないと同じような問題が出た時に絶対自分で出来ないですよね

>発想の仕方とか幾何学的な
>イメージとかであって解法そのものに
>ついてのものではないですよね？
そこも分かってないと自分で同じような問題に対応できないので、分かった上で何度も自分で解きなおした方がいいと思います

>意味無いんじゃな
>いんですか？」などと回答者に向かって
>いうのは失礼ではないかな？
すいません、悪気は無いです、でもちゃんと分かった上でやらないと、いくら考えても出来ないと思います、

突飛な解法を覚えても何でそれを思いついたのか、その解法はどういう理由で使おうと思ったかをちゃんと分からないと解き方を覚えるにしても自分では出来るようにならないですよね

補足日時：2014/08/30 20:15

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/30 20:15

No.24 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/30 18:55

#23です。

＞良ければ2つの立方体を重ねた図を
＞書いてくれませんか

悪いけど拒否。
理由はメンドクサイし、私にとって
得るものが何もないから。

折り紙なり厚紙なりをハサミを使って
切ってつなげてみては？

あなたの過去の質問のやりとりをみた
限り、視覚的な情報の認識が苦手みた
いだから一度そういうのをやっておいて
も損はないと思います。

格子点の例を出したのは、幾何学的に
考えると数式だけ考えるときよりイメージ
しやすいだろうと思ったからなんですが
あなたの場合はそうでないようです。


あのね、自分で苦労して模型作らないと

　　　　　ぜ　　っ　　た　　い　　に

わかるようにならないのよ。

他人に作ってもらっても無駄。
まあ、がんばって！

もう一つアドバイス。
この質問の問題ですけれど、回答を読み
直すのではなく、その問題集の解説を読み
直すのでもなく、その問題集の問題文だけ
をノートに書き込み、自力で解き直して
答案を作ってみてください。

この回答への補足

全部この問題に関して回答をされたのを見直してみたのですが、

そもそもx-z>=2とすると,yをそのままにし、ｘを1小さくzを1大きくするというのをやろうとおもったのは何故なのですか？

これを前提として進めるのは分かったのですが、この作業を何でやろうとしたのかが分からないです

>悪いけど拒否。
>理由はメンドクサイし、私にとって
>得るものが何もないから。
分かりました、ではその立体とかはどうやってPCで作っているのか教えてもらえませんか？使っているグラフソフトとかも

>その問題集の問題文だけ
>をノートに書き込み、自力で解き直して
>答案を作ってみてください。
でもこんなことやっても解説が理解できていないのに意味無いんじゃないですか？当然自力でも出来ないですから無駄に考えるだけで時間が過ぎていくだけだと思うのですが

補足日時：2014/08/30 19:09

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/30 19:09

No.23 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/30 08:09

#22の補足について。

u=x-y,v=y-z,w=z-xとして#18の画像を参照。

で、その「隙間にある格子点」とやらはみつ
かりましたか？

あなたが主張していることは

・-2<m<-1となる整数m
・1<n<2となる整数n

があると言っていることに相当しますよね。

この回答への補足

>「隙間にある格子点」とやらはみつ
>かりましたか？
無いっぽいですね、何か前に何の疑問だったかも分けが分からなくなってきたので、整理したいです、良ければ2つの立方体を重ねた図を書いてくれませんか、座標も一緒に、自分でもやってみたいのですが、PCでそういうのやり方分からないです

補足日時：2014/08/30 14:49

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/30 14:49

No.22 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/30 05:16

#21です。

＞明らかに隙間があってその隙間にある
＞格子点が出てくるんですが、

そうおっしゃるなら一つだけでいいので
例をだしてください。

もしそんな例があれば#16の補足であなた
が書いたことと矛盾するというのはわかり
ますよね？

この回答への補足

>#16の補足であなた
>が書いたことと矛盾するというのはわかり
>ますよね？
この例とこの問題が関係しているのは分かるのですが、そうなのですか？うーん、16で書いた事は確か|x-y|<=1かつ|y-z|<=1かつ|z-x|<=1だったはずですが、これとどう関係してくるんですか？

補足日時：2014/08/30 05:28

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/30 05:29

No.21 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/30 02:10

#20差し替えおねがいします。

------------------------------------
#18の補足について。

＞一辺が4の立方体以外の格子点は全部Bの
＞中にあるってどういうことですか？どう考えて
＞も一辺が4の立方体でない部分でも一辺が2
＞の立方体に含まれない部分が出てきますよ

では例えばどの点が

原点が0で一辺が4の立方体の外側または境界
になく、かつ、原点が0で一辺が2の立方体の内側
または境界にもないか座標を示してください。

もちろん格子点だけを考えるので座標に整数で
ないものは対象外です。

この回答への補足

>原点が0で一辺が4の立方体の外側または境界
>になく、かつ、原点が0で一辺が2の立方体の内側
この2つの立方体を合成したような図って描けますか？
自分で紙に書くと

明らかに隙間があってその隙間にある格子点が出てくるんですが、

あ、でもこれは整数ではないのかも、でもこの隙間に一つ位は整数の座標がありそうな気もしますが、

自分で書いた図は座標とかを正確に書いてるわけではなくて、適当に2つの立方体を中心を合わせて書いただけなのですが、隙間はありますよね？

補足日時：2014/08/30 03:27

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/30 03:27

No.20 回答者： berokanda 回答日時： 2014/08/30 01:47

#18の補足について。

＞一辺が4の立方体以外の格子点は全部Bの
＞中にあるってどういうことですか？どう考えて
＞も一辺が4の立方体でない部分でも一辺が2
＞の立方体に含まれない部分が出てきますよ

では例えばどの点が

原点が0で一辺が4の立方体の外側または境界
になく、かつ、原点が0で一辺が2の立方体の内側
または境界にあるか座標を示してください。

もちろん格子点だけを考えるので座標に整数で
ないものは対象外です。

この回答への補足

了解です

補足日時：2014/08/30 03:27

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/30 02:53