競馬、競艇、競輪の確率の問題

A,B,C三者でレースをします。AがBより早くゴールする勝つ確率をP(A,B)とします。
P(A,B)=2/3,P(B,A)=1/3
P(B,C)=2/3,P(C,B)=1/3
P(A,C)=4/5,P(C,A)=1/5

このとき1着A、2着B、3着Cとなる確率はどのように求められますか？
自分で色々考えてみたのですが、全6通りの確率を計算して合計すると1にならないので
どうも間違っているようです。そもそもこの情報だけで求められるのでしょうか？

ギャンブルカテより数学カテの皆さんのが心強そうなのでこちらにしました。
よろしくお願いします。

No.5 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2014/10/04 21:10

1着がx, 2着がy, 3着がzとなる確率をP(xyz)のように書く事にしますと、

　　P(CBA) = 1 - (P(ABC)+P(BAC)+P(ACB)+P(CAB)+P(BCA))
である。そして、連立方程式
　　P(A,B)=P(ABC)+P(ACB)+P(CAB)
　　P(B,C)=P(ABC)+P(BAC)+P(BCA)
　　P(A,C)=P(ABC)+P(BAC)+P(ACB)
が与えられた、というのがご質問の状況です。（左辺は数値が与えられている。）
　さて、これはP(ABC), P(BAC), P(ACB), P(CAB), P(BCA)の5つの未知数を含む連立一次方程式ですが、式が3本しかないから、これだけでは答は決まらない。

　もし、あと2本の方程式を（たとえばデタラメに）与えたとすると、今度は「P(ABC), P(BAC), P(ACB), P(CAB), P(BCA), P(CBA)は、どれも0以上1以下である」という条件を満たす解があるかどうかが問題になります。

No.4 回答者： kmee 回答日時： 2014/10/04 01:40

それぞれの確率が独立していない、というのが結論でしょう。

例えば、 AがBに勝ち、BがCに勝つ時の条件付き確率P'は
P'(A,C)=1, P'(C,A)=0
です。
単純に P(A,B) * P(B,C) * P(A,C) としても A→B→Cの確率にはなりません。

No.3 回答者： shintaro-2 回答日時： 2014/10/04 00:26

>そもそもこの情報だけで求められるのでしょうか？

多分、無理なんです。


例えば、実力か拮抗しているためすべての確率を1/2としましょう。

そうすると、着順のパターンは6通りなので、それぞれの確率は全部1/6です。

でも、1/2をどのように掛けても1/6にはなりません。

No.2 回答者： B-juggler 回答日時： 2014/10/04 00:05

数学的に？　としてもおかしな問題だと思いますよ。

えっと、三連単　ＡＢＣを考えますね。

ＡがＢよりも先着しないといけない。
かつ、ＢはＣより先着しないといけない。

これでいいはずなので、　（２／３）＾２＝（４／９）

　この時点で、ＡとＣの順序は決定済みだからね。

と、同時にね、これでもいいんです。

ＣがＢよりも先着しない。（１／３）
かつＡがＣよりも先着をする。（４／５）
かつ、ＡがＢより先着をする。（１／３）

この掛け算でも、三連単は成立しそう。

三連単に対して、１：１の勝ち負けの条件しか与えられていないのは、
おかしいことになると思うんだけどね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.1 回答者： janpup 回答日時： 2014/10/03 23:12

競馬　競艇　競輪に確率は存在しません

馬も人も体調が良い時　悪い時があるので確率を求める事は出来ないのです・・

この回答への補足

実際には正確な確率を求めることができないのは、仰るとおりですね。
ここでは数学の問題として考えたときの求め方を教えていただけると嬉しいです

補足日時：2014/10/03 23:31