小学生の娘の父です。算数を教えています。
錐(円錐、三角錐、四角錘…)の体積は、「底面積X高さX1/3」と、
柱(円柱、三角柱、四角柱…)の体積「底面積X高さ」の1/3ですよね。
何で1/3なのかを、娘が納得するように説明して頂けないでしょうか。
宜しくお願い致します。

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A 回答 (8件)

おいらが当時理解した方法です。



三角柱から、2つ三角錐を取り出します。
これは、底面積が同じで高さが同じ三角錐です
それでももうひとつ三角錐が残りますよね...
これも丁度同じ体積になる...というのは中学レベルで
解かないといけないですが、
同じになりそう...で小学生は納得させられないでしょうか

まあ実際は、底面の一辺×底面の(三角形の)高さ/2×三角柱の高さ(/3)と、
底面の一辺=残りの三角錐の一辺とすると
残りの三角錐の底面積=底面の一辺×三角柱の高さ/2
残りの三角柱の高さ=底面の高さ
となって、掛け算するものは同じになるということから
同じ体積になりそうだまではいくと思います。
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stomachmanさんほどの大物でないことを前提の、凡人むきの方法。



1辺がaの立方体を作ります。重心と各頂点を結ぶと、合同の四角錘が6つとれます。
それぞれの体積は、底面積(a×a)×高さ(a/2)×1/3です。これが、立方体の体積の1/6になります。1/2の高さのものが1/6の体積になる。立方体を2つに切った、同じ高さの四角柱の体積の1/3になります。

展開図を書くときはピタゴラスの定理で計算して側面図を作ってください。

立方体を3つに切るよりは、スマートな四角錘になります。
立方体でない直方体の場合は、ちょっと面倒そうです。
ただ、こんなので納得できるのがいいのか悪いのかはわかりません。
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なんで丁度1/3?


stomachmanが積分法(正確には区分求積法)に出会ったのは、まさにこの問題を一人で調べていたからです。5年生のときだっけか。級数Σ(n^2)の総和法を理解し、極限の概念も何となく分かって、一気に数学が面白くなった。今思えば、無限を扱うのが数学の醍醐味ですからね。それを見て、高校数学の参考書のお古をくれた人が居たのも幸いして、中学に入るころには初等的な微積分は得意技になってました。
 決して特別なことではない証拠に、同級生たちに「なんで丁度1/3か」を何時間も掛けて説明した。身を乗り出して面白がるのが沢山居ましたよ。小学校5年生の脳味噌なら理解可能なんです。

 さてご質問の場合、数学的な証明よりも、むしろ理解すること・納得することが重要ですね。いきなり積分法の話はしないで、幾何学からアプローチするのが良さそうです。
(1) とりあえず公式を認めた上で、その意味するところを良く理解しておく。
普通の三角形において、底辺×高さ÷2がその面積である。つまり底辺の長さと高ささえ一定に保てば、頂点を動かして三角形を変形しても面積が変わらないということ。同様に、錐の場合にも、底面積×高さ÷3がその体積であるとするならば、高さを変えないで頂点を動かしても、また底面積を変えないで底面の形を変えても、体積が変わらないということを納得しておく必要があります。
 どうして頂点を動かしても良いのか?その説明は「錐を底面と平行に薄切りにしてやる。薄い板を積み重ねたようなものになる。ほら、板をずらしたって良いでしょう?」(ここで区分求積法のための導入が自然にできます。歴史的には、「二つの立体を並べておいて、これを平面で切る。平面を平行移動していったとき、二つの立体の断面の面積がいつも同じであるならば、両者の体積もまた等しい。」という定理あたりに区分求積法のルーツがあるように思われます。まさに「薄い板」の概念ですね。)三角形に戻って、同じ考え方を試してみるのも良いと思います。
(2) 以上から、どんな錐であろうと、同じ体積を持つ正方形の底面を持つ正四角錐が構成できる。底面積が同じで高さが同じであるようにしてやれば良いんだな、と分かること。
(3)高さを変えるというのは、空間を引き延ばす操作であるということ。たとえば正方形を引き延ばす、三角形を引き延ばす、円を引き延ばす、1方向に2倍に引き延ばせば、面積は2倍になる。体積も2倍になる。直交する2方向なら4倍。斜めに引っ張ったって良いんだよ。方眼紙に図形を描いて、方眼紙のマス目が長方形に引き延ばされるとどうなるかを考える。図形に依らない性質であることを理解させます。
 立方体や球を引き延ばしても同様で、直交する3方向なら8倍(これは相似になる。)立方体の中に色々な図形を納めて(立方体に内接する球など)引き延ばすところを想像させます。さらに一般にK倍だとどうなるか。(積分における変数変換t=x/2と同じことをやっている。ま、それはともかく。)
 ここで、次元の概念が導入できます。すなわち体積が長さ×長さ×長さというdimensionを持つことの必然性が納得できる筈。
(4) だとすれば、一辺が2の正方形を底面とし、高さ1である正四角錐の体積が分かれば、これを引き延ばすことで好きな正四角錐が得られる。
(5)さて、一辺2の立方体を考え、その一つの辺の両端と立方体の中心を結んでできる三角形(12個できますね)を考える。すると、一辺が2の正方形を底面とし、高さ1である正四角錐6個が立方体を構成していることが分かります。これは模型を作っても面白い。この四角錐の体積が立方体の1/6であること、四角錐の高さが立方体の高さの1/2であること。これで元の公式が確認できます。
 ここまで来たら、もう一度(4)(3)(2)を確認して、これで好きな錐の体積の求め方が分かったということになります。

 次の段階として、可能なら区分求積法を導入する。まだ関数の概念がしっかりしていないから、積分とは違うものと考えた方がよいでしょう。
(1) 小さい立方体のブロックを沢山集めてピラミッドのように積み重ねて四角錐を作る。
(2) 薄板の面積が、頂点から薄板に降ろした垂線の長さの2乗に比例することを理解する。
(3) ブロックの数が級数Σ(n^2)で表されることを理解する。
(4) この級数の総和を求める。公式を与えたのではだめ。1/3という因子が出てくる理由を知るには、どうしても自分で解かなくちゃいけません。これには、級数Σ(1)=N、級数Σ(n)=N(N+1)/2を求めさせ、次にこれらを使って級数Σ(n^2)の和を構成します。数式を旨く扱う能力が必要で、簡単な方程式が解けなくてはならない。
(5)この問題の場合の極限操作は案外理解しやすいものです。

 じっくり時間をかけ、自分で考えさせる。分からなくなったら戻る。その粘りと楽しさが維持できるかどうかがポイントですね。
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1/3については、指導要領が変わるたびに、入ったり消えたりしています。

文部省(文科省)も、本当に必要だと思っていないのでしょうね。

特殊な形の四角錐の実例で、それが一般化できるかどうか疑問があります。また、直方体や立方体に納まるやつは、頂点が底面の一つの頂点の真上にありますから、算数の教科書に出てくる、頂点が底面の重心の真上にあるやつと同じだということを、まず納得できないといけません。

容器を作って、水で、というのはよく見ます。たぶん、学校にアクリルの四角錐か円錐の容器があって、先生が実演していると思いますが、たぶん、それを見ても納得できないのではないかと思います。そういうのでごまかされて納得しちゃう子供が多い中で納得しない娘さんは、大物の素質がありますね。

じゃあ、ということにあると、私自身も、積分なしに納得できなかったクチですが(だからといって大物ではないのです。あくまで「素質」ですから)、「輪切り」ぐらいしか思いつきません。
四角錐の輪切りと、四角柱の輪切りと、両方用意(同じ高さで切る)して、一番下(底面)は同じ、上に行くにしたがって差が大きくなる・・。断面の合計面積を較べてみると・・・、ということになりますが、手間がかかる割に、「だいたい」にしかなりません。「だいたい3倍」だと「円周率」と同じか・・?

「積分」すると、「本当に1/3になるのがわかる」といって、数学に対する興味を持ってもらい、というのが正しいのかも知れません。○文式みたいな方法で子供に積分を教えてもだめでしょうし。
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直方体から四角錐が3個取れます。

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柱体と錐体の体積の比を説明するには積分が必須なので難しいですね。



同じ底面積、高さを持つ柱体と錐体の2つの容器を用意できれば、錐体の
中に満たした水を柱体の容器に移すことで「ほら1/3でしょ」って言う
ことができるんでしょうけどね。
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ちょっと消しゴムを切って見ましたがパズルのように解くのは難しそうですね。

tokyoringoさんの趣旨とは違うかもしれませんが、
円錐の容器とその底面が同じで1・3の高さを持つ円柱の容器を用いて、
水を移してみれば驚く(円柱の水より円錐の水のほうが多く見えますよね)
とともに納得してくれるのではないかと思いました。
円錐の容器は防水紙を切っていっしょに作ってみるのがよいので
はないでしょうか。
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小学生で錐の体積ですか?レベルが高い質問ですね...。


積分の式を使えば簡単に説明できますが、小学生にはどう説明しましょう?

積分の原理にしたがって、円錐(角錐でもいいです)を底面に平行に輪切り(10分割くらい?)にしたものを足していくと係数が1/3に近づく、というのが考えられますが、「収束」という概念が分からないと納得しないかもしれません。

このさい思い切って「積分」という演算概念を教えるのも手かもしれません。
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S2=小角錐底面積=角錐上面積、k=小角錐の高さ、V2=小角錐の体積
V=角錐台の体積、h=角垂台の高さ
とすると

V1= S1(h+k)/3
V2= S2(k/3)
V = V1-V2 = S1(h+k)/3 - S2 k/3
= S2(k/3)[(S1/S2){(h+k)/k}-1]...(1)

ここで、面積比は高さの2乗に等しいので
S1/S2= {(h+k)/k}^2 
(h+k)/k= (S1/S2)^(1/2)...(2)
h/k= (S1/S2)^(1/2) -1
k= h/{(S1/S2)^(1/2) -1}...(3)

(2),(3)を(1)に代入して
V= (h/3)S2{(S1/S2)^(3/2) -1} /{(S1/S2)^(1/2) -1}
= (h/3)S2{(S1/S2) + (S1/S2)^(1/2) +1}
= (h/3){S1 + (S1S2)^(1/2) +S2}
= (h/3){S1 + S2 +√(S1S2)}

A#1の方の探してこられた角垂台の公式であっています。

以下確認の計算法です。
S1=角錐底面積、h+k=角錐の高さ、V1=角錐の体積
S2=小角錐底面積=角錐上面積、k=小角錐の高さ、V2=小角錐の体積
V=角錐台の体積、h=角垂台の高さ
とすると

V1= S1(h+k)/3
V2= S2(k/3)
V = V1-V2 = S1(h+k)/3 - S2 k/3
= S2(k/3)[(S1/S2){(h+k)/k}-1]...(1)

ここで、面積比は高さの2乗に等しいので
S1/S2= {(h+k)/k}^2 
(h+k)/k= (S1/S2)^(1/2)...(2)
h/k= (S1/S2)^(1/2) -1
k= h/{(S1/S2)^(1/2) -1}...(3)

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Q中学受験、立体の切断の問題を解説してください

某中学校の入試問題です。解答はあるのですが、解説がないため理解できません。
どうか考え方を教えて頂きたく、よろしくお願いいたします。


≪問題≫

図のような底面が正方形で、各辺の長さがすべて等しい正四角すいがあり、
辺AB、AC、AD、AEの真ん中の点をF、G、H、Iとします。
この時、次の問いに答えなさい。

(1)三点F、C、Eを通る平面で切断します。このとき、点Bを含む方の立体の体積と
  元の正四角すいの体積の比をもっとも簡単な整数比で求めなさい

(2)三点F、C、Eを通る平面で立体を切断し、続けて三点G、B、Dを通る平面で立体を切断します。
  このとき、辺BCを含む立体の体積と、元の正四角すいの体積の比をもっとも簡単な整数比で
  求めなさい。

(3)三点B、G、Hを通る平面で立体を切断します。このとき、点Aを含む方の立体の体積と
  元の正四角すいの体積比をもっとも簡単な整数比で求めなさい。



≪解答≫
(1)1:4
(2)1:12
(3)3:8


(1)のみ自力で解けました。
  Bを含む方の立体(三角すい)は底面積が元の立体の1/2、高さが元に立体の1/2なので1/2
1/4:1となり、整数比にして1:4・・・ということですよね?

(2)、(3)はお手上げです。どうか教えてください。よろしくお願いします。

某中学校の入試問題です。解答はあるのですが、解説がないため理解できません。
どうか考え方を教えて頂きたく、よろしくお願いいたします。


≪問題≫

図のような底面が正方形で、各辺の長さがすべて等しい正四角すいがあり、
辺AB、AC、AD、AEの真ん中の点をF、G、H、Iとします。
この時、次の問いに答えなさい。

(1)三点F、C、Eを通る平面で切断します。このとき、点Bを含む方の立体の体積と
  元の正四角すいの体積の比をもっとも簡単な整数比で求めなさい

(2)三点F、C、Eを通る平面で立体を切断し...続きを読む

Aベストアンサー

No.10(13)です。

直接Aを含む方の立体の体積割合が出せたのでそれをご報告しておきます。

Aを含む方の立体を平面AEG(=平面AEC)で切断します。
切断面は△AEGです。

この切断により、「Aを含む方の立体」は、
三角すいABE-G と 三角すいAEH-G に分けることができます。

三角すいABE-G
= 三角すいABE-C x 1/2
= 元の立体 x 1/2 x 1/2
= 元の立体 x 1/4

三角すいAEH-G
= 三角すいAED-G x 1/2
= 三角すいAED-C x 1/2 x 1/2
= 元の立体 x x 1/2 x 1/2 x 1/2
= 元の立体 x 1/8

従って、「Aを含む方の立体」は、
合計で、元の立体の、1/4 + 1/8 = 3/8 です。

なお、三角すいAEH-G についてはこう考えることもできます。
四角すいFGHI-A は、元の立体と相似で相似比は1/2なので体積は1/8です。
三角すいIGH-A は、この四角すいFGHI-Aの半分の体積です。
(底面が半分になっていますから)
そして、三角すいAEH-G は、この 三角すいIGH-A の2倍の体積です。
(底面をIGHとしたまま高さが2倍(AI→AE)になっています)
したがって、結局、
三角すいAEH-G は、四角すいFGHI-A と比べて、
底面積が半分になった一方、高さが2倍になったので、体積は変わりません。
つまり、1/8 ということです。

No.10にせよ、今回の回答にせよ、切断を考えるのが結構面倒なんですよね、、、
切断されたあとの立体がどう別れるか(きれいに分かれているのか)を
考えるのが私のように立体のセンスがない人間には結構大変です。
(図がグチャグチャになる、、、)
これが上手く行けばそこからは早いとは思いますけどね。

No.10(13)です。

直接Aを含む方の立体の体積割合が出せたのでそれをご報告しておきます。

Aを含む方の立体を平面AEG(=平面AEC)で切断します。
切断面は△AEGです。

この切断により、「Aを含む方の立体」は、
三角すいABE-G と 三角すいAEH-G に分けることができます。

三角すいABE-G
= 三角すいABE-C x 1/2
= 元の立体 x 1/2 x 1/2
= 元の立体 x 1/4

三角すいAEH-G
= 三角すいAED-G x 1/2
= 三角すいAED-C x 1/2 x 1/2
= 元の立体 x x 1/2 x 1/2 x 1/2
= 元の立体 x 1/8

従って、「Aを含む方の立...続きを読む

Qオベリスク体積算定式の導出法

オベリスクの体積は
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 h:オベリスクの高さ
 a,b:上面の短辺長および長辺長
 A,B:底面の短辺長および長辺長

どうして、このような式になるのか、順を追ってご説明をお願いします。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>底面からの高さHの断面の短辺長および長辺長は
それぞれA-(A-a)H/h、B-(B-b)H/hであり、
そのを面積S(H)とすると、
S(H)={A-(A-a)H/h}*{B-(B-b)H/h}
=(1/h^2){(A-a)(B-b)H^2-(2AB-Ab-aB)hH+ABh^2}
V=∫(H=0→h)S(H)dH=(1/h^2){(A-a)(B-b)∫(H=0→h)H^2dH
-(2AB-Ab-aB)h∫(H=0→h)HdH+ABh^2∫(H=0→h)dH}
=(1/h^2){(A-a)(B-b)(h^3/3)-(2AB-Ab-aB)h(h^2/2)+ABh^2(h)}
=(h/6){2(A-a)(B-b)-3(2AB-Ab-aB)+6AB}
=(h/6)(2AB-2Ab-2aB+2ab-6AB+3Ab+3aB+6AB)
=(h/6)(2AB+Ab+aB+2ab)=(h/6)(aB+Ab+2ab+2AB)


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