小学生の娘の父です。算数を教えています。
錐(円錐、三角錐、四角錘…)の体積は、「底面積X高さX1/3」と、
柱(円柱、三角柱、四角柱…)の体積「底面積X高さ」の1/3ですよね。
何で1/3なのかを、娘が納得するように説明して頂けないでしょうか。
宜しくお願い致します。

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A 回答 (8件)

おいらが当時理解した方法です。



三角柱から、2つ三角錐を取り出します。
これは、底面積が同じで高さが同じ三角錐です
それでももうひとつ三角錐が残りますよね...
これも丁度同じ体積になる...というのは中学レベルで
解かないといけないですが、
同じになりそう...で小学生は納得させられないでしょうか

まあ実際は、底面の一辺×底面の(三角形の)高さ/2×三角柱の高さ(/3)と、
底面の一辺=残りの三角錐の一辺とすると
残りの三角錐の底面積=底面の一辺×三角柱の高さ/2
残りの三角柱の高さ=底面の高さ
となって、掛け算するものは同じになるということから
同じ体積になりそうだまではいくと思います。
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stomachmanさんほどの大物でないことを前提の、凡人むきの方法。



1辺がaの立方体を作ります。重心と各頂点を結ぶと、合同の四角錘が6つとれます。
それぞれの体積は、底面積(a×a)×高さ(a/2)×1/3です。これが、立方体の体積の1/6になります。1/2の高さのものが1/6の体積になる。立方体を2つに切った、同じ高さの四角柱の体積の1/3になります。

展開図を書くときはピタゴラスの定理で計算して側面図を作ってください。

立方体を3つに切るよりは、スマートな四角錘になります。
立方体でない直方体の場合は、ちょっと面倒そうです。
ただ、こんなので納得できるのがいいのか悪いのかはわかりません。
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なんで丁度1/3?


stomachmanが積分法(正確には区分求積法)に出会ったのは、まさにこの問題を一人で調べていたからです。5年生のときだっけか。級数Σ(n^2)の総和法を理解し、極限の概念も何となく分かって、一気に数学が面白くなった。今思えば、無限を扱うのが数学の醍醐味ですからね。それを見て、高校数学の参考書のお古をくれた人が居たのも幸いして、中学に入るころには初等的な微積分は得意技になってました。
 決して特別なことではない証拠に、同級生たちに「なんで丁度1/3か」を何時間も掛けて説明した。身を乗り出して面白がるのが沢山居ましたよ。小学校5年生の脳味噌なら理解可能なんです。

 さてご質問の場合、数学的な証明よりも、むしろ理解すること・納得することが重要ですね。いきなり積分法の話はしないで、幾何学からアプローチするのが良さそうです。
(1) とりあえず公式を認めた上で、その意味するところを良く理解しておく。
普通の三角形において、底辺×高さ÷2がその面積である。つまり底辺の長さと高ささえ一定に保てば、頂点を動かして三角形を変形しても面積が変わらないということ。同様に、錐の場合にも、底面積×高さ÷3がその体積であるとするならば、高さを変えないで頂点を動かしても、また底面積を変えないで底面の形を変えても、体積が変わらないということを納得しておく必要があります。
 どうして頂点を動かしても良いのか?その説明は「錐を底面と平行に薄切りにしてやる。薄い板を積み重ねたようなものになる。ほら、板をずらしたって良いでしょう?」(ここで区分求積法のための導入が自然にできます。歴史的には、「二つの立体を並べておいて、これを平面で切る。平面を平行移動していったとき、二つの立体の断面の面積がいつも同じであるならば、両者の体積もまた等しい。」という定理あたりに区分求積法のルーツがあるように思われます。まさに「薄い板」の概念ですね。)三角形に戻って、同じ考え方を試してみるのも良いと思います。
(2) 以上から、どんな錐であろうと、同じ体積を持つ正方形の底面を持つ正四角錐が構成できる。底面積が同じで高さが同じであるようにしてやれば良いんだな、と分かること。
(3)高さを変えるというのは、空間を引き延ばす操作であるということ。たとえば正方形を引き延ばす、三角形を引き延ばす、円を引き延ばす、1方向に2倍に引き延ばせば、面積は2倍になる。体積も2倍になる。直交する2方向なら4倍。斜めに引っ張ったって良いんだよ。方眼紙に図形を描いて、方眼紙のマス目が長方形に引き延ばされるとどうなるかを考える。図形に依らない性質であることを理解させます。
 立方体や球を引き延ばしても同様で、直交する3方向なら8倍(これは相似になる。)立方体の中に色々な図形を納めて(立方体に内接する球など)引き延ばすところを想像させます。さらに一般にK倍だとどうなるか。(積分における変数変換t=x/2と同じことをやっている。ま、それはともかく。)
 ここで、次元の概念が導入できます。すなわち体積が長さ×長さ×長さというdimensionを持つことの必然性が納得できる筈。
(4) だとすれば、一辺が2の正方形を底面とし、高さ1である正四角錐の体積が分かれば、これを引き延ばすことで好きな正四角錐が得られる。
(5)さて、一辺2の立方体を考え、その一つの辺の両端と立方体の中心を結んでできる三角形(12個できますね)を考える。すると、一辺が2の正方形を底面とし、高さ1である正四角錐6個が立方体を構成していることが分かります。これは模型を作っても面白い。この四角錐の体積が立方体の1/6であること、四角錐の高さが立方体の高さの1/2であること。これで元の公式が確認できます。
 ここまで来たら、もう一度(4)(3)(2)を確認して、これで好きな錐の体積の求め方が分かったということになります。

 次の段階として、可能なら区分求積法を導入する。まだ関数の概念がしっかりしていないから、積分とは違うものと考えた方がよいでしょう。
(1) 小さい立方体のブロックを沢山集めてピラミッドのように積み重ねて四角錐を作る。
(2) 薄板の面積が、頂点から薄板に降ろした垂線の長さの2乗に比例することを理解する。
(3) ブロックの数が級数Σ(n^2)で表されることを理解する。
(4) この級数の総和を求める。公式を与えたのではだめ。1/3という因子が出てくる理由を知るには、どうしても自分で解かなくちゃいけません。これには、級数Σ(1)=N、級数Σ(n)=N(N+1)/2を求めさせ、次にこれらを使って級数Σ(n^2)の和を構成します。数式を旨く扱う能力が必要で、簡単な方程式が解けなくてはならない。
(5)この問題の場合の極限操作は案外理解しやすいものです。

 じっくり時間をかけ、自分で考えさせる。分からなくなったら戻る。その粘りと楽しさが維持できるかどうかがポイントですね。
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1/3については、指導要領が変わるたびに、入ったり消えたりしています。

文部省(文科省)も、本当に必要だと思っていないのでしょうね。

特殊な形の四角錐の実例で、それが一般化できるかどうか疑問があります。また、直方体や立方体に納まるやつは、頂点が底面の一つの頂点の真上にありますから、算数の教科書に出てくる、頂点が底面の重心の真上にあるやつと同じだということを、まず納得できないといけません。

容器を作って、水で、というのはよく見ます。たぶん、学校にアクリルの四角錐か円錐の容器があって、先生が実演していると思いますが、たぶん、それを見ても納得できないのではないかと思います。そういうのでごまかされて納得しちゃう子供が多い中で納得しない娘さんは、大物の素質がありますね。

じゃあ、ということにあると、私自身も、積分なしに納得できなかったクチですが(だからといって大物ではないのです。あくまで「素質」ですから)、「輪切り」ぐらいしか思いつきません。
四角錐の輪切りと、四角柱の輪切りと、両方用意(同じ高さで切る)して、一番下(底面)は同じ、上に行くにしたがって差が大きくなる・・。断面の合計面積を較べてみると・・・、ということになりますが、手間がかかる割に、「だいたい」にしかなりません。「だいたい3倍」だと「円周率」と同じか・・?

「積分」すると、「本当に1/3になるのがわかる」といって、数学に対する興味を持ってもらい、というのが正しいのかも知れません。○文式みたいな方法で子供に積分を教えてもだめでしょうし。
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直方体から四角錐が3個取れます。

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柱体と錐体の体積の比を説明するには積分が必須なので難しいですね。



同じ底面積、高さを持つ柱体と錐体の2つの容器を用意できれば、錐体の
中に満たした水を柱体の容器に移すことで「ほら1/3でしょ」って言う
ことができるんでしょうけどね。
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ちょっと消しゴムを切って見ましたがパズルのように解くのは難しそうですね。

tokyoringoさんの趣旨とは違うかもしれませんが、
円錐の容器とその底面が同じで1・3の高さを持つ円柱の容器を用いて、
水を移してみれば驚く(円柱の水より円錐の水のほうが多く見えますよね)
とともに納得してくれるのではないかと思いました。
円錐の容器は防水紙を切っていっしょに作ってみるのがよいので
はないでしょうか。
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小学生で錐の体積ですか?レベルが高い質問ですね...。


積分の式を使えば簡単に説明できますが、小学生にはどう説明しましょう?

積分の原理にしたがって、円錐(角錐でもいいです)を底面に平行に輪切り(10分割くらい?)にしたものを足していくと係数が1/3に近づく、というのが考えられますが、「収束」という概念が分からないと納得しないかもしれません。

このさい思い切って「積分」という演算概念を教えるのも手かもしれません。
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塾講師、家庭教師経験者です。
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娘2人が中学受験をしました。今下の子がピッカピッカの中学1年生です。一口に中学受験といっても学校によってかなりレベルが違います。でも「4年生だからまずは基礎を」ということですから、超難関校ではなさそうですね。それでも受験に必要なのは絶対的な勉強量です。中学受験の塾に行っている子は半年くらい学年の勉強を先行しています。うちも6年の夏までに6年の範囲は終えて、後半は過去問をときまくっていました。問題も普通の教科書に載っているものとはだいぶ違います。うちは四谷大塚の問題集を使っていましたが、説明も載っていて、わかりやすかったです。その他の有名な中学受験塾でも、ネットなどで簡単に問題集を注文できると思います。何から取り組んだらいいかわからないようでしたら、そういう問題集を購入してもらい、やらせてみるのが早道ではないでしょうか。また、本屋さんでも「中学受験」とうたった問題集を売っていますが、それは四谷の問題集と、塾独自の教材とは別に、補助教材として使っていました。
あとは国語も算数の文章題も、文を読みこなす力が必要ですし、作文のある学校も多いので、文章力をつける指導をしてあげてください。

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となる点Kをとる。Kを通り底面に平行な平面で、この四角錘を上下2つに分けた。
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Aベストアンサー

答えを教えるとルール違反になるので、ヒントを。

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Kを通り底面に平行な平面に分けると、上の四角錐が、切る前の四角錐と(大きさは違えど)同じ形になります。

これを証明させる意図の問題ではないので、イメージとして納得できればよいです。

でこれが納得できたら次、

「同じ形の立体図形(相似な立体図形)では
長さの比がa:b のとき、体積の比はa^3:b^3になる。」

という基本事項(教科書にも載っていると思います。)


これを用いて、切る前の四角錐大と四角錐小を考えましょう。

(四角錐大の高さ):(四角錐小の高さ)=3:1

よって

(四角錐大の体積):(四角錐小の体積)=3^3:1^3=9:1

と、いうことは、

(四角錐小の体積):(切断後の下の部分の体積)
=(四角錐小の体積):(四角錐大の体積)-(四角錐小の体積)=1:8

です。

あとは比を立てて解くだけです。

Q中学受験について

最近は中学受験にむけて塾に通っているお子さんが多いと聞きます。

(1)塾のほうが良いのでしょうか?家庭教師は駄目ですか?

(2)中学受験はどのように志望校?目標校?をきめるのでしょうか?

(3)塾や家庭教師はなにを基準に決めますか?(例えば評判が良いとか・・・)

一人っ子の娘がいます。小学3年生です。まだ本人は中学受験に興味はまったくありません。来年から中学受験にむけて塾に行ったほうが・・・と聞きました。アドバイス宜しくお願いします。

Aベストアンサー

中学受験のお子さん指導経験のある元塾講師です。

 結論からいって
 (1)中学受験を自ら進んでやりたいと言うお子さんの場合
 (2)親が無理やりやらせる場合
 (3)なんとなく始めて受験する場合
 
 色々あります。興味がないお子さんでも一生懸命勉強する仲間を見て「受験勉強やりたい」というお子さんも勿論います。逆に勉強やだというお子さんもいますが、無理にさせることは私は反対です。
本人の意思がない場合、中学受験はほとんどが失敗し、仮にうまくいってもその後何らかの形(不登校など)で現れるからです。みんながやってるからという理由でやるのはおすすめしません。(お金もかかります)

 家の家計が大変でも「子供が一生懸命勉強している姿を見ると頑張ろうと思う」このようなスタンスなら家計が苦しくても乗り越えられますが、そうでないと無理です。(家計に余裕があっても無理です)

 ここからは受験する前提で書きます。
(1)塾・家庭教師に関してですが両方に長所があります。
 お子さんが競争意識が強いなら塾、一人でこつこつやるタイプなら家庭教師がおすすめです。
 塾というのは生徒全体の底上げやトップの子の合格を重要視します。そのため多少気の弱いお子さんな どはケアができない場合があります。ただ講師の立場で言うと「塾の友達」はお子さんが初めて持つ「ライバルであり戦友」という学校の友達とは違うものがあり私は好きです。この塾の友達は結構うるさいのが多いのでそれが肌に合うかどうかです。また塾によってもお子さんは結構違うのでご自身で見学に行かれるといいです。 
 家庭教師は生徒に最適なペースで授業をします。ただ料金が塾より高いのが普通です。また初めてのお子さんの場合、お母さんが不安になる場合もあるようです。塾にいると父母会などが多くそうしたものが家庭教師の場合すくなかったりない場合があります。

(2)志望校の決め方
  …わかりやすく例をあげると家を買うのと同じです。
  家の予算=受験ではお子さんの偏差値・学費
  敷地面積=通学圏内
  レイアウト=校風

 決め方に決まりはありません。同じ偏差値でも大学受験特化校か大学付属校かで全然違います。
「お子さんがどうなりたいか・お子さんにどうなってもらいたいか」でご判断下さい。
 (早稲田と慶應を両方受験されるお子さんがいますが医者志望であれば早稲田でなく巣鴨等のほうをおすすめしています)

(3)われわれは決まられる立場ですが親御さんから聞くのは
 「成績が伸びそう」
 「子供が気に入った」等が多いようです。
 ただお子さんや親御さんの考えに沿わないようであればお断りする場合もあります。これは高飛車な考えでなく両方(塾もご家庭も)が不幸にならないためです。
お子さんがたのしく通える塾か学べる家庭教師をお探しください。
ご参考までに。

中学受験のお子さん指導経験のある元塾講師です。

 結論からいって
 (1)中学受験を自ら進んでやりたいと言うお子さんの場合
 (2)親が無理やりやらせる場合
 (3)なんとなく始めて受験する場合
 
 色々あります。興味がないお子さんでも一生懸命勉強する仲間を見て「受験勉強やりたい」というお子さんも勿論います。逆に勉強やだというお子さんもいますが、無理にさせることは私は反対です。
本人の意思がない場合、中学受験はほとんどが失敗し、仮にうまくいってもその後何らかの形(不登校など)で現れるか...続きを読む

Q次の図において、四角形AEFBの面積は四角形BGHCの面積の何倍になる

次の図において、四角形AEFBの面積は四角形BGHCの面積の何倍になるか。なお、AB=BC=CD=DO、EF=FG=GH=HI=IOである。

上記問題は比を使って解くと思うのですが、比が苦手で解き方が思いつきません。
答えは1.6倍です。
どなたか解き方を教えてもらえないでしょうか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

辺EOの長さをY、辺AOの長さをXとして
まず四角形BGHCは三角形BGO-三角形CHOだから
BGOの面積 3/4X×3/5Y÷2=9/40XY
CHOの面積 2/4X×2/5Y÷2=1/10XY
従って四角形BGHC 9/40XY-1/10XY=1/8XY

同じようにして四角形AEFBは三角形AEO-三角形BFOだから
AEOの面積 X×Y÷1/2=1/2XY
BFOの面積 3/4X×4/5Y÷1/2=3/10XY
従って四角形AEFB 1/2XY-3/10XY=1/5XY

AEFB÷BGHC=1/5XY÷1/8XY=1/5×8=1.6

よって1.6倍となります。
(比の問題だから高さはこのようにして解いてもいいと思います)


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