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『1直線上にない4点(xi,yi)(i = 1,2,3,4)が同一の円周上にあるための条件を求めよ。』
という問題についてです。
この問題の解説にこう書かれています。
..................
4点が円周x^2+y^2+2gx+2fy+c=0上にあるとすると
x1^2+y1^2+2gx1+2fy1+c=0
x2^2+y2^2+2gx2+2fy2+c=0
x3^2+y3^2+2gx3+2fy3+c=0
x4^2+y4^2+2gx4+2fy4+c=0
これを1,2g,2f,cが非自明解であると考えると、係数行列式が0.
すなわち、係数行列をAとすると、条件はdetA=0
..................
とあるのですが、何故、求める条件がdetA=0となるのかが理解できません。
同次連立1次方程式Ax↑=o↑が非自明解をもつための必要十分条件が、
detA=0であることは分かっているのですが・・・。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
>4点が円周
x^2+y^2+2gx+2fy+c=0 (0)
上にあるとすると
x1^2+y1^2+2gx1+2fy1+c=0 (1)
x2^2+y2^2+2gx2+2fy2+c=0 (2)
x3^2+y3^2+2gx3+2fy3+c=0 (3)
x4^2+y4^2+2gx4+2fy4+c=0 (4)
4点(X1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)が円(0)上にある条件が(1)~(4)であり、未知数は
g,f,cの3個です。従って(X1,y1),(x2,y2),(x3,y3)が直線状にない限り
(1)-(3)によってg,f,cは決まります。
これは与えられた3点を通る円が一義的に決まることに対応しています。
この問題のポイントは点(X1,y1),(x2,y2),(x3,y3)を通る円Cが第4の点(x4,y4)を通るための条件
を求めているということです。つまり(x4,y4)が逆に条件を付けられているわけです。
つまり(x4,y4)が未知数です。これは3点で決まる円上に第4の点が乗る条件です。
以上の議論で点(x4,y4)を特別扱いしましたが、3点(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)を通る円C’上に
点(x1,y1)が乗る条件としても結果は全く変わらないはずです。
そのような観点から条件を見直してみると結局「1,2g,2f,cが非自明解を持つ」条件に還元される
ということです。
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