何通りあるか

青玉、白玉、赤玉が4つずつ計12個ある。それぞれの色の玉には1から4までの番号がついている。これら12この玉を3個ずつ区別のできない4つの箱に入れる。 どの箱も色の種類が一種類にならないように入れる時入れ方は何通りあるか？

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/30 12:42

No.2 です。

ちょっと間違いがあったの訂正。

＞つまり「同じ色の箱がある」という組合せ数は
＞　② - (③ - ④) = ② - ③ + ④
＞ということになります。
＞
＞従って、求める並べ方は
＞　① - [② - (③ - ④)] = ① - ② + ③ - ④
＞ということになります。

というのは、場合の計算の順序をひっくり返していたので、③と④が逆でした。
計算式の方を訂正すると

＊＊＊＊＊＊＊ここからが訂正内容＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

つまり「同じ色の箱がある」という組合せ数は
　② - (④ - ③) = ② - ④ + ③
ということになります。

従って、求める並べ方は
　① - [② - (④ - ③)] = ① - ② + ④ - ③
ということになります。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

です。

数値計算をしてみると

① = 15400 とおり
② = 3360 とおり
③ = 64 とおり
④ = 480 とおり

なので、求める場合の数は

① - ② + ④ - ③ = 12456 とおり

となって、#3 さんの結果と一致します。


でも、#3 さんのやり方で、

＞どの色でも、同色の4個を4つの箱に入れる入れ方は、
＞以下の3通りだけです。
＞
＞(a).1個、1個、1個、1個
＞(b).2個、1個、1個、0個
＞(c).2個、2個、0個、0個

と書かれているのは、

(d) 3個、1個、0個、0個

というのもあると思うのですが。

No.3 回答者： teionmilk 回答日時： 2021/08/29 22:14

青:B、白:W、赤:Rとします。

また、4つの箱の中身を、( , , , )で表します。

例えば、4つの箱に各色１個ずつ入ると、
(BWR,BWR,BWR,BWR)と表わすことにします。


どの色でも、同色の4個を4つの箱に入れる入れ方は、
以下の3通りだけです。

(a).1個、1個、1個、1個
(b).2個、1個、1個、0個
(c).2個、2個、0個、0個

青の入れ方の3通りそれぞれに対して、
白の入れ方の3通りがありますが、
赤の入れ方は自動的に決まるので、
合計 3x3=9通りに場合分けして、入れ方を考えます。

・青(a)、白(a)
青(a)は、(B ,B ,B ,B )、白(a)は、(W ,W ,W ,W )
この組合せは1通りで、(BWR,BWR,BWR,BWR)

・青(a)、白(b)
青(a)は、(B ,B ,B ,B )、白(b)は、(WW ,W ,W , )
この組合せは1通りで、(BWW,BWR,BWR,BRR)

・青(a)、白(c)
青(a)は、(B ,B ,B ,B )、白(c)は、(WW ,WW , , )
この組合せは1通りで、(BWW,BWW,BRR,BRR)

・青(b)、白(a)
青(b)は、(BB ,B ,B , )、白(a)は、(W ,W ,W ,W )
この組合せは1通りで、(BBW,BWR,BWR,WRR)

・青(b)、白(b)
青(b)は、(BB ,B ,B , )、白(b)は、(WW ,W ,W , )

この組合せは4通りで、以下です。

(BBR,BWW,BWR,WRR)
(BBR,BWR,BWR,WWR)
(BBW,BWW,BRR,WRR)
(BBW,BWR,BWR,WWR)

・青(b)、白(c)
青(b)は、(BB ,B ,B , )、白(c)は、(WW ,WW , , )
この組合せは1通りで、(BBR,BWW,BRR,WWR)

・青(c)、白(a)
青(c)は、(BB ,BB , , )、白(a)は、(W ,W ,W ,W )
この組合せは1通りで、(BBW,BBW,WRR,WRR)

・青(c)、白(b)
青(c)は、(BB ,BB , , )、白(b)は、(WW ,W ,W , )
この組合せは1通りで、(BBW,BBR,WWR,WRR)

・青(c)、白(c)
青(c)は、(BB ,BB , , )、白(c)は、(WW ,WW , , )
この組合せは1通りで、(BBR,BBR,WWR,WWR)

以上より、数字で区別せず色だけで区別する分け方は、
この12通りです。

(BWR,BWR,BWR,BWR)
(BWW,BWR,BWR,BRR)
(BWW,BWW,BRR,BRR)
(BBW,BWR,BWR,WRR)
(BBR,BWW,BWR,WRR)
(BBR,BWR,BWR,WWR)
(BBW,BWW,BRR,WRR)
(BBW,BWR,BWR,WWR)
(BBR,BWW,BRR,WWR)
(BBW,BBW,WRR,WRR)
(BBW,BBR,WWR,WRR)
(BBR,BBR,WWR,WWR)


更に数字で区別する場合は、この12通りそれぞれについて、
数字の出方をかけて合計します。

・(BWR,BWR,BWR,BWR)

左のBから順に、
4C1x4C1x4C1x3C1x3C1x3C1x2C1x2C1x2C1x1C1x1C1x1C1通り

また、4つのBWRは入れ替えても同じなので 4!で割って、
4x4x4x3x3x3x2x2x2x1x1x1/4! = 576通り

・(BWW,BWR,BWR,BRR)

左のBから順に、
4C1x4C2x3C1x2C1x4C1x2C1x1C1x3C1x1C1x2C2通り

また、2つのBWRは入れ替えても同じなので 2!で割って、
4x6x3x2x4x2x1x3x1x1/2! = 1728通り

(BBW,BWR,BWR,WRR),
(BBR,BWR,BWR,WWR),
(BBW,BWR,BWR,WWR)も同様。

・(BWW,BWW,BRR,BRR)

左のBから順に、
4C1x4C2x3C1x2C2x2C1x4C2x1C1x2C2通り

また、2つのBWW、2つBRRは入れ替えても同じなので
2!x2!で割って、

4x6x3x1x2x6x1x1/2!/2! = 216通り

(BBW,BBW,WRR,WRR),(BBR,BBR,WWR,WWR)も同様

・(BBW,BWW,BRR,WRR)

左のBから順に、
4C2x4C1x2C1x3C2x1C1x4C2x1C1x2C2
= 6x4x2x3x1x6x1x1 = 864通り

(BBR,BWW,BRR,WWR),(BBW,BBR,WWR,WRR)も同様

・(BBR,BWW,BWR,WRR)

左のBから順に、
4C2x4C1x2C1x4C2x1C1x2C1x3C1x1C1x2C2
= 6x4x2x6x1x2x3x1x1 = 1728通り

以上を合計すると、

576 + 1728x4 + 216x3 + 864x3 + 1728 = 12456通り

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/27 16:27

No.1 です。

補足がつかないので、「玉の番号を区別する」つまり「青1」と「青2」は区別するということで考えます。
従って、12個の玉は全て区別できることになります。

「3個ずつ4つの箱に入れる」ので、
・第1の箱には12個の中から3個選ぶので 12C3 とおり
・第2の箱には残り9個の中から3個選ぶので 9C3 とおり
・第3の箱には残り6個の中から3個選ぶので 6C3 とおり
・第4の箱には残り3個の中から3個選ぶので 3C3 とおり

4つの箱は区別しないので、全体の分け方は
　12C3 × 9C3 × 6C3 × 3C3 / 4! = 12!/[(3!)^4 * 4!] とおり　　　①
です。

求めるものは「どの箱も色の種類が一種類にならないように入れる」入れ方です。
つまり「１つでも同じ色だけの箱があってはいけない」ので、①の全体から「同じ色だけの箱がある並べ方」を差し引けばよいです。

1つの箱を「同じ色」にしたときには、色の選び方
　3C1
同じ色4個から1つの箱に入れる選び方
　4C3
残りの箱には
・第2の箱には残り9個の中から3個選ぶので 9C3 とおり
・第3の箱には残り6個の中から3個選ぶので 6C3 とおり
・第4の箱には残り3個の中から3個選ぶので 3C3 とおり
なので、その組合せの数は
　3C1 × 4C3 × 9C3 × 6C3 × 3C3 / 3! = 12 × 9!/[(3!)^3 × 3!] とおり　　　②

ただし、この場合には、残り3箱の中に「白3個」や「赤3個」の箱もできてしまうので、ここから「2つの箱が同じ色」「3つの箱が同じ色」の場合を差し引かないといけません。

「3つの箱が同じ色」になるのは、同じ色4個から1つの箱に入れる選び方
　4C3
が3色なので
　4C3 × 4C3 × 4C3 = 64 とおり　　　　③

「2つの箱が同じ色」になるのは、3つの色から2つの色を選ぶ選び方が 3C2、
同じ色4個から1つの箱に入れる選び方が 4C3、
残り6個の組合せ方が 6C3 × 3C3
なので
　3C2 × 4C3 × 4C3 × 6C3 × 3C3 / 2! = 48 × 6! / [(3!)^2 × 2!]　　　　　④

つまり「同じ色の箱がある」という組合せ数は
　② - (③ - ④) = ② - ③ + ④
ということになります。

従って、求める並べ方は
　① - [② - (③ - ④)] = ① - ② + ③ - ④
ということになります。

具体的な数の計算はご自分で。

「同じ色の玉は区別しない」場合には、別な数え方になります。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2021/08/24 09:19

意味わかんないYO。

箱の中は「色」だけに着目すればよいのであって、玉の番号は関係ないのですか？
それとも、番号を区別するのですか？