(1+タンジェント)分の1の不定積分

タンジェントをtとおいて、dx=(1+tの2乗)分の1 dtとなり有利関数の積分となることはわかりました！
そのあとの部分分数分解がどうしてもわかりません！
教えてください！お願いします！

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/11/18 12:01

問題全体を示してください。

この回答への補足

問題は題名です！

補足日時：2014/11/18 12:15

No.2 回答者： info222_ 回答日時： 2014/11/18 12:01

I=∫ 1/(1+tan(x)) dx, (tan(x)≠-1, cos(x)≠0)

t=tan(x) (t≠-1)とおくと
dt=sec^2(x)dx=(1+tan^2(x))dx=(1+t^2)dx
dx=dt/(1+t^2)
I=∫ 1/((1+t)(1+t^2)) dt
部分分数展開して
=∫ (1/2){(1+t)^(-1)-t(1+t^2)^(-1)+(1+t^2)^(-1)}dt
ln(・)を自然対数として
=(1/2)ln|1+t|-(1/4)ln(1+t^2)+(1/2)arctan(t)+C
t=tan(x)で変数をxに戻すと
＝(1/2)ln|1+tan(x)|-(1/4)ln(1+tan^2(x))+(1/2)x+C
=(1/2)ln|1+tan(x)|-(1/4)ln(1/cos^2(x))+(1/2)x+C
=(1/2)x+(1/2)ln|1+tan(x)|+(1/2)ln|cos(x)|+C ...(答)
(tan(x)≠-1, cos(x)≠0)
or
=(1/2)x+(1/2)ln|sin(x)+cos(x)|+C ...(答)
(sin(x)+cos(x)≠0)

この回答への補足

In(・)とはなんですか？

補足日時：2014/11/18 12:16

この回答へのお礼

すいませんわかりました！ありがとうございました！

お礼日時：2014/11/18 12:19