マクスウェル方程式の１つが間違っている

(初めてokwave利用します)
電磁気学についての質問です。

マクスウェル方程式には４つあるのですが、
そのうちの１つ
∇×E = -δB/δt・・(1)
が間違っていることに気がつきました。(1)の積分型は
∫ E・dl = - (δ/δt)∫∫ B・n dS・・(2)
と表されますが、これはある閉曲線内の磁束が増加すると、
この閉曲線上に電界が生じることを意味しています。(図１)
ここでのポイントは、この式が
「閉曲線上に生じる電界は閉曲線内の磁束(B・n S)の変化率のみによって決まる」
ことを意味している点です。
しかし、図2のように閉曲線αの外側で磁束密度(B)が増加している場合には、
閉曲線β上にも電界が生じることになるため、閉曲線αと閉曲線βが接している
ところでは、電界がキャンセルするはずです。
つまり、閉曲線上に生じる電界は閉曲線内の磁束だけでなく、
閉曲線の外の磁束にも影響されることになり、式(2)は成り立たず、
よって、式(1)は間違いであることになります。

また、図２の補足ですが、ソレノイド(円筒状に導線を巻いたコイル)内の磁束密度Bはどこでもほぼ同じであり、コイルに流す電流をある傾きで増やしてやれば、ソレノイド内の磁束密度(B)はどの場所でも同じ割合で増加することになります。つまり、一様に増加する磁場を作ることは可能なはずです。

この考えは正しい、あるいは間違っている等、指摘をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2014/11/29 22:37

どうゆう計算式で「電界がキャンセルするはずです。

」と言っているのか
わからないので正確なことはわかりません。

話は逆で磁界の変化により、各座標に電界 E ができます。つまり、αとβ
の接触部分 P で、キャンセルなどしません。

マクスウェルの式が言っていることはαやβの積分により、Pに電界ができる
のではなく、各座標にできた電界をαやβで積分すると

∫[α]Eds=-∂B/∂t が成立つと言っているだけなのです。

ちなみに、簡単な例で方程式を解いてみます。B=bt(b定数、t時間)とし、
円柱座標にして、対称性から∂zEr=0とすると

(1/r)∂r(rEφ)=-b となる。適当な条件を付けて、解は
Eφ=(-b/2)r となり、rに電界が比例しているので、P点の積分寄与が

正負逆でも回路の反対側で保障されていることになります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

ソレノイド中は一様に磁束密度が増加しているので、その中に円ループ(x-y平面)をとったときに, どこでも電界の接線成分は同じだろうと思っていたのですが、実はこれが誤りでした。
円ループ上の接線方向の電界がどこでも同じになるためには、一様磁束密度が、円ループを中心として同心円状に存在している必要があり、少しでもずれた場合、近似としても正しいと言えるのかわからなくなってきたためです。
一方、ソレノイド中では真ん中を基準として右回り(左回り)に中心からの距離に比例した電界が発生するという資料を見つけ、これだと矛盾がなさそうなので、一応納得しました。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2014/11/30 15:00