濃度についてーその２

　
任意の集合はそのべき集合を作り続けることによって、無限に増大する濃度を持つ集合列が生成できることは証明されています。

例えばこれを可算集合から開始した場合、

可算集合の濃度＝アレフ0
可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１
可算集合のべき集合のべき集合の濃度＝アレフ2
可算集合のべき集合のべき集合のべき集合の濃度＝アレフ３
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
以下無限に続く。

このように無限に増大する濃度を持つ集合列アレフ0、アレフ１、アレフ２、・・・・が生成されます。


また同様にして連続体から開始した場合、

連続体の濃度＝ベート0
連続体のべき集合の濃度＝ベート１
連続体のべき集合のべき集合の濃度＝ベート2
連続体のべき集合のべき集合のべき集合の濃度＝ベート３
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
　　　　　　　　・
以下無限に続く。

このように無限に増大する濃度を持つ集合列ベート0、ベート1、ベート2、・・・・が生成されます。

さて質問です。

１．任意の自然数ｎに対して適当な自然数ｍを取ることにより、ベートｎ＝アレフｍを成立させることが出来ますか。

２．任意の集合に対しその濃度をAとするとき、適当な自然数ｍやｎを取ることによりA=アレフｍ、A=ベートｎを成立させることが出来ますか。
　

No.9 ベストアンサー 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/17 11:32

> ところでアレフ列は、

> .....
> さらに無限に続く（こんな感じか）のであれば、
そんな「感じ」です（実際にはもう少し複雑だけどそんな「感じ」だと思っておけば多分とりあえずいいです）

> このアレフ列は非可算集合になるのでしょうか。
なりません。どういう意味で言っているかというと、そのアレフ列に属するもの全部を集めたものは集合になりません。イメージとしては集合というには「大き過ぎ」て、集合の範疇に収まらない感じ。

> 具体的な生成方法は存在するのでしょうか。
『具体的』というのが微妙なところですが、ともかく一般には全ての順序数上の帰納法、といったもので生成します。これも全ての順序数を集めたものはやはり集合でないので扱いが面倒臭いですが、ともかくそういった方法で生成する。

> べき乗による生成は使えないのでしょうか。
だめです。アレフ0とアレフ1の関係のように、一般に「アレフ(α+1) = （アレフαのべき集合の濃度）」というのは「一般連続体仮説」と呼ばれるもので、これはZFCからは言えません（言えないことが分かっています）

この回答へのお礼

　
＞なりません。どういう意味で言っているかというと、そのアレフ列に属するもの全部を集めたものは集合になりません。イメージとしては集合というには「大き過ぎ」て、集合の範疇に収まらない感じ。

見た目には可算集合のようにも見えますが、「大き過ぎ」て集合の範疇にも収まらないということは、連続体をも超えるほどに巨大であるということですか。

お礼日時：2014/12/17 12:26

No.11 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/17 13:43

> 見た目には可算集合のようにも見えますが、「大き過ぎ」て集合の範疇にも収まらないということは、連続体をも超えるほどに巨大であるということですか。

私の目からは可算集合のようには全然見えないですが、要は連続体をも超えるほどに巨大である、ということです。

> これは生成方法ではなく定義の類ではないですか。
そうです。
> 具体的な生成方法を示さずに、アレフ1より大きいアレフ2が
> 存在すると言えるのでしょうか。
> さらにこのアレフ2がアレフ1より大きい無限濃度の中で最小の
> ものとして存在すると言えるのでしょうか。

これは、言えるというのはもう公理的集合論をある程度学習してもらわないとどうしようもない。なんとなくの証明で言えるものではないです。連続体濃度がアレフ何であるか言えないように、アレフ1やアレフ2もあることは言えるけどあなたが今考えているだろうところの「具体的に」どんな集合かというのは（ZFCだけからだと）全く言えない。

この回答へのお礼

　
分かりました。
問題点が解決し、かなりスッキリしました。
私の質問に粘り強く付き合って頂き感謝しております。
ありがとうございました。
　

お礼日時：2014/12/17 14:05

No.10 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/17 11:36

ちなみにさっきの具体的、というのは、例えば「アレフ2はアレフ1より大きい無限濃度の中で最小のもの」として生成する、といったもので、「そんなのは具体的でない」と言われるとこれ以上の具体的な方法はありません。

この回答へのお礼

　
＞「アレフ2はアレフ1より大きい無限濃度の中で最小のもの」として生成する、

これは生成方法ではなく定義の類ではないですか。
具体的な生成方法を示さずに、アレフ1より大きいアレフ2が存在すると言えるのでしょうか。
さらにこのアレフ2がアレフ1より大きい無限濃度の中で最小のものとして存在すると言えるのでしょうか。
ほんとうに具体的な生成方法は存在しないのですか。
　
　
　

お礼日時：2014/12/17 12:34

No.8 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/17 10:09

> アレフとは無限集合の濃度の序列を表し、その序列は無限に続く。

そう書いておけば問題ないでしょう。つまり、アレフ0の次に大きい無限濃度がアレフ1、アレフ1の次に大きい無限濃度がアレフ2。そうなんですが

> アレフ0、アレフ1、アレフ２、・・・・・・・
> アレフアレフ0、アレフアレフ１、
細かいですが、一応書いておくとアレフ（アレフ0）の次はアレフ（アレフ1）でなくてアレフ（アレフ0 + 1）。アレフ0、アレフ1、アレフ2、....と言った時の0, 1, 2, ....といった下の添え字は順番の列（厳密には順序数という概念を使う）で、0, 1, 2, ...., アレフ0, アレフ0+1, アレフ0+2, ....です。
アレフ0の次の『順序数』は（アレフ0 + 1）ですが、アレフ0の次のアレフ（『基数』）はアレフ1。で（アレフ0+1）そのものの濃度はアレフ0。この辺は順序数とか基数とかの概念をきちんと理解しないと苦しいので、「ふーん」とだけ思っておいてください。

> だから連続体濃度はアレフ0かも知れないし、アレフ200かも知れないし、アレフアレフ0かも知れないみたいな・・・
アレフ0はずっと言っている通りそれは必ず可算濃度なので、連続体濃度はアレフ0にはならない。アレフ200になることはありうる。但しNo.7さんが書いておられるとおり連続体濃度はとある理由によってアレフ（アレフ0）にはなれません。但し、連続体濃度はアレフ（アレフ１）になることはありうる。（念のため繰り返しておきますが、アレフ（アレフ１）はアレフ（アレフ0）の次の無限濃度ではありません）。


> 連続体濃度がアレフ何かは分からないし、そもそも一致するアレフが存在するか否かさえ不明ってことなのでしょうか？
連続体濃度が何だかの「アレフ何」であることは、これはZFCで言えます。但し、具体的にアレフ何であるかはZFCからは不明です。
同様に任意の無限集合に対して、その濃度が何だかのアレフ何であることはZFCで言えます。可算集合のべき集合のべき集合のべき集合についてもそうです。しかし、具体的にアレフ何であるかはZFCからは不明です。但し、可算濃度は定義からアレフ0です。

> No.7さん
私が書いたのはアレフ1.5とかでなくてアレフ（アレフ0）とかそういうのを考えるのだというので書いたつもりです。おっしゃったことはその通りです。

この回答への補足

　
修正：

またその具体的な生成方法は存在するのでしょうか。
　　　　　　　　　　　↓
またそのアレフ列の各要素のアレフ値を濃度としてもつ集合の具体的な生成方法は存在するのでしょうか。
　

補足日時：2014/12/17 10:55

この回答へのお礼

　
なんとなく見えてきました。

＞任意の無限集合に対して、その濃度が何だかのアレフ何であることはZFCで言えます。

これはかなり強力な事実ですね。


ところでアレフ列は、

アレフ0、アレフ1、アレフ２、・・・・・・・
アレフ(アレフ0)、アレフ(アレフ0+1)、アレフ(アレフ0+2)、・・・・
アレフ(アレフ(アレフ0))、アレフ(アレフ(アレフ0+1))、アレフ(アレフ(アレフ0+2))、・・・・
・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・
さらに無限に続く（こんな感じか）のであれば、

このアレフ列は非可算集合になるのでしょうか。
またその具体的な生成方法は存在するのでしょうか。
べき乗による生成は使えないのでしょうか。
　

　

お礼日時：2014/12/17 10:38

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/12/17 01:18

あれ? 「可算無限番目のアレフ」あたりは連続体濃度にはなりえなさそうな感じの記述が

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B6%9A% …
にあるんだけど＞#4, どないなもんでっしゃろ.

さておき, もとの質問文にしろ #1 への補足で言い直した文章にしろ, あきらかに変だと思う. そもそも質問文のように (ふつうの集合論の記法はぶん投げて) 定義したなら
aleph_(n+1) = beth_n
が必ず成り立っちゃう (既に #1 で回答されている通り) し, 2番の方は例えば「任意の集合」として空集合を持ってくれば一発アウトなのが自明でしょ?

この回答へのお礼

　
＞あれ? 「可算無限番目のアレフ」あたりは連続体濃度にはなりえなさそうな感じの記述が

連続体濃度＝アレフアレフ0ではないかってことですか。

連続体濃度がアレフ何に一致するかは分からないが、必ず一致するアレフが存在するのでしょうか。
　

お礼日時：2014/12/17 09:02

No.6 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/16 23:00

ああ、また補足にかかれてしまった...

> アレフの定義はこれまでの説明だと確か、

> 可算集合の濃度＝アレフ0
> 可算集合のべき集合の濃度＝アレフ１
> 可算集合のべき集合のべき集合の濃度＝アレフ2
> 可算集合のべき集合のべき集合のべき集合の濃度＝アレフ３
　　　　　　　　・　　　　　　　・
　　　　　　　　・
> 以下無限に続く。
> これが間違いってことですか。

だから、それが間違ってます。アレフの定義はそうではありません。。
とにかくアレフの定義をもう一度確認してください。

この回答へのお礼

＞アレフの定義はそうではありません。

アレフについて調べたので、少し分かってきました。

アレフとは無限集合の濃度の序列を表し、その序列は無限に続く。

アレフ0、アレフ1、アレフ２、・・・・・・・
アレフアレフ0、アレフアレフ１、アレフアレフ２・・・・
アレフアレフアレフ0、アレフアレフアレフ１、アレフアレフアレフ２・・・・
・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・
・・・・・・・・・・
無限に続く（こんな感じか）


ただし、あるアレフ値を濃度としてもつ集合がどのような集合なのかについては全く分からないってことでしょうか。

だから連続体濃度はアレフ0かも知れないし、アレフ200かも知れないし、アレフアレフ0かも知れないみたいな・・・

連続体濃度がアレフ何かは分からないし、そもそも一致するアレフが存在するか否かさえ不明ってことなのでしょうか？
　
同様に、可算集合のべき集合のべき集合のべき集合の濃度がアレフ何かは分からないし、そもそも一致するアレフが存在するか否かさえ不明ってことなのでしょうか？
　

　

お礼日時：2014/12/17 08:55

No.5 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/16 22:54

> ベートなる文字はアレフと区別するために適当に使ったのでして、適切かどうかはわかりません。

いや、ベートというのはちゃんと定義されていて、先ほども書いた通りあなたの書いたものとは一つずれている。
で、もう一度書きますがアレフの定義はあなたが書いたものではありません。

No.4 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/16 22:48

>> 1. ベート1（連続体濃度）の段階で、すでにベート1=アレフｍと

>>なる自然数mが存在するかはZFCからは分からない。
> そのようなｍが何か決定はできないとしても、存在するかどうかも保証されていないのでしょうか？

その通りです。

>> 2. mやnを自然数に限定してしまうと、どちらも言えない。
> アレフ1.5などは有り得ないっていう話ではなかったですか？
そうではなくて可算無限番目のアレフ、（可算無限+1）番目のアレフ、... （可算無限＋可算無限）番目のアレフ...みたいなのを考える。こんな言葉で書いても何がなんだか、といった感じだと思うので、これ以上は公理的集合論のきちんとした知識がいります。

一度公理的集合論の本を読む事をお薦めします。

この回答へのお礼

　
＞その通りです。

任意の無限集合の濃度はアレフｍ（ｍは自然数または0）として表現できる保証はないってことですか。
　

＞そうではなくて可算無限番目のアレフ、（可算無限+1）番目のアレフ、... （可算無限＋可算無限）番目のアレフ...みたいなのを考える。こんな言葉で書いても何がなんだか、といった感じだと思うので、これ以上は公理的集合論のきちんとした知識がいります。

アレフアレフ0、アレフアレフ1、アレフアレフ２、・・・

こんな話をしていますか。
　

お礼日時：2014/12/17 07:18

No.3 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/16 22:31

ああ、また補足が先についてしまったが、先程の回答は変わりません

No.2 回答者： tmpname 回答日時： 2014/12/16 22:27

因みに正しいアレフの定義と（もう一度いいますが一度アレフの定義を確認し直してください）、通常のベートの定義をもとにすると

1. ベート1（連続体濃度）の段階で、すでにベート1=アレフｍとなる自然数mが存在するかはZFCからは分からない。
2. mやnを自然数に限定してしまうと、どちらも言えない。

この回答への補足

　
ベートなる文字はアレフと区別するために適当に使ったのでして、適切かどうかはわかりません。
連続体を表すヘブライ文字のCは何か分からなかったので。
　

補足日時：2014/12/16 22:46

この回答へのお礼

　
＞1. ベート1（連続体濃度）の段階で、すでにベート1=アレフｍとなる自然数mが存在するかはZFCからは分からない。

そのようなｍが何か決定はできないとしても、存在するかどうかも保証されていないのでしょうか？



＞2. mやnを自然数に限定してしまうと、どちらも言えない。

アレフ1.5などは有り得ないっていう話ではなかったですか？
ますます分からん？
　

お礼日時：2014/12/16 22:38