線形代数:解が特殊解+一般解

現在復習として線形代数をやっているのですが、解が特殊解+一般解になるというものがあまり理解できません。
m×n行列A、n次の列ベクトルx、m次の列ベクトルbからなる
Ax=b
という方程式があるとします。
この方程式が解を持つならば、その一般解は1つの特殊解x_1と、対応する同次方程式の一般解x_0との和x=x_1+x_0で与えられるという定理があります。
この証明として、Ax_1=b, Ax_0=0とすれば、A(x_1+x_0)=Ax_1+Ax_0=b+0=b;
だから、x=x_1+x_0はAx=bの解になる。

これは、証明中では「Ax_0=0とすれば」と書いてあるから成り立つのは理解できますが、定理の中では同次方程式の一般解がx_0=0と限定はしていません。
仮にx_0=0でない場合、例えばrankA=r(r<n)とすると、一般解はx_0=t_(r+1)x_(r+1)+t_(r+2)x_(r+2)+…+t_nx_n (t_(r+1)~t_nは任意の定数)
というように、解はx_(r+1)~x_nまでの一次結合になります。
つまり、A(x_1+x_0)=Ax_1+Ax_0=b+x_0(≠0)≠bということになります。
これは、特殊解と一般解の和がこの方程式を満たしていないことになります。
しかし、前に微分方程式なんかを習っていたときも特殊解と一般解の和を答えとして出してた記憶もあるので、成り立たないはずはない・・・？と思いますがまったく納得いきません。
自分の説明が間違っているとは思うので、何か間違っている点がわかる方いましたらご指摘お願いします。
見づらくわかりにくい文章で申し訳ないです・・・。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/12/27 01:53

「x_0=0でない場合」に, どうして「A(x_1+x_0)=Ax_1+Ax_0=b+x_0(≠0)≠b」となるのですか?

「同次方程式の一般解」がどういうものかわかっていますか?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

今ちょっと考えてみたら、同次方程式の一般解は、どうやってもAx_0=0になりますね。
解と右辺の列ベクトルを混同してしまっていました。

お礼日時：2014/12/27 02:05