arctan(x) 積分／微分

この添付画像のようなことになる理由がわかりません。

　公式集では、
arctan(x) を微分すると、 1 / x^2 +1 になるとあります。
　
　おそらくこれを使っているんだと思いますが、
　その公式を、この画像の式一行目に当てはめることができずにいます。

　アドバイスを、お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/29 09:12

I=∫dν/(ν^2+4)

=(1/2)∫d(ν/2)/((ν/2)^2+1)=(1/2)∫dx/(x^2+1) (x=ν/2)

置換　t=arctanx,　すなわち x=tantを行う。

dx/dt=1/cos^2t 　⇒ dx=dt/cos^2t

1/(x^2+1)=cos^2t

を用いて

I=(1/2)∫dx/(x^2+1)=(1/2)∫dt=t/2+C

=arctanx/2+C

=(1/2)arctan(ν/2)+C


この積分の面白いところはt=arctanxとおくことによって

∫dx/(x^2+1)=∫dt

となる点である。

この回答へのお礼

すみません。お礼が遅れました。
いつも、とても助かります…。

ご回答、どうもありがとうございました！

お礼日時：2015/03/02 12:10