数学Ⅲの不定積分、置換積分の範囲

∮cos3乗X・sinX dx (・は掛け算の記号)

この問題をcosX=tとおく場合と、
sinX=tとおく場合で解いた場合の答えが

一致しないのですが何故かわかる方いらっしゃいますか？ 一致するのなら解き方も教えて下さい

ちなみに解答の本には、ー1／4cos4乗X+C と書いてありました。この答えはcosX=tとおいた場合の答えでした

sinX=tとおいた場合は、1／4(1ーcos4乗X)+C となりました。 (Cは積分定数)

質問者からの補足コメント

• 同じなんですか？
  同じになること証明する式を教えてもらえると助かります

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/02/03 16:54

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2015/02/03 17:41

この問題を見てt=cosxとおくのが有利と気づけないようでは実戦では頼りにならない。

理由

1）cosxのべき数が大きいから

2）dt/dx=-sinx ⇒ dt=-sinxdx　これがそのまま使える。

つまり

∫cos^3xsinxdx=-∫t^3dt=-t^4/4+C=-cos^4x/4+C


なお、

-(1/4)cos^4X+C が (1/4)(1ーcos^4x)+C が同じ内容であることは

(1/4)(1ーcos^4x)+C=-(1/4)cos^4x+(1/4+C)=-(1/4)cos^4x+C'

と変形してみればよい。積分定数としてCとC'を区別するいわれはない。

この回答へのお礼

なるほど！
詳しい解説ありがとうございました！
sinX=tの方は試しにやってみただけです笑

こんなに早く回答していただきありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2015/02/03 17:50

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/02/03 16:49

ん? それ, 同じでしょ?