確率の計算です

確率の計算をしてください！
Ａさん、Ｂさん、Ｃさん、Ｄさん、Ｅさんの5人が定員2人のイベントに申し込み、定員を超えたため抽選を行うことにしました。ＤさんとＥさんは2人一緒でないと参加しません。5人それぞれ1人ずつで抽選を行う場合と、Ｄさん、Ｅさんを1組と考えて抽選を行う場合の、Ａ・Ｂ・Ｃさんの当選確率とＤ・Ｅさんが2人一緒に行ける確率を教えてください。
条件は、
・当選者は定員を超えない
・定員割れが起こっても構わない
以上です。
よろしくお願いします。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2015/04/07 18:45

くじ引きの順番とか、ルールの決め方によりますが、考えられそうなルールを仮定すれば、次のような結果になります。

（計算違いがあるかもしれませんので、数字はご自分で再度計算してください）

（１）Ｄ・Ｅをまとめて１人として「４人」で１回目の抽選を行い、Ｄ・Ｅが当選したらＤ／Ｅペアに2枚でそれでおしまい。（２回目はない）
　１回目でＤ・Ｅが落選だった場合、1回目に当選したＡ・Ｂ・Ｃのいずれかに1枚、残り券1枚に対して2回目の抽選を行う。この場合、残り券は1枚なのでＤ・Ｅは２回目には参加できず、２回目はＡ・Ｂ・Ｃのうちの落選者２人で行う。

　このルールであれば、Ｄ・Ｅが当選する確率は最初のワンチャンスの1/4です。
　ただし、このルールを適用するには、Ａ・Ｂ・Ｃがこのルールを承認することが条件です。
　Ａ・Ｂ・Ｃの各々の当選する確率は、
1回目：1/4
2回目：Ｄ・Ｅおよび自分自身が当選しない確率1/2の1/2なので1/4。
　Ａ・Ｂ・Ｃの各々が、1回目または2回目で当選する確率は、この合計で1/2。
　これは、単純に5人の中から2人当選する（２）のケースの確率よりも大きく、抽選辞退のある（３）と同等なので、Ａ・Ｂ・Ｃがこのルールに納得する公算は大きいです。（ただし、「死に券復活」の（４）がありうる場合には、そちらを主張するでしょう）

（２）単純に5人の中から2人当選する。それでおしまい。Ｄ・Ｅが両方とも当選したらイベントに行くが、一方のみの当選なら「死に券」（誰も使わない無駄券）になる。これはＡ・Ｂ・Ｃにとっても公平なルールなので、ルール適用上の問題はないでしょう。

　このルールであれば、Ｄ・Ｅのいずれかが1回目で当選する確率：2/5、かつＤ・Ｅのもう一方が2回目で当選する確率：1/4なので、これが同時に起こる確率は
　　2/5 × 1/4 = 1/10

　この場合には、Ａ・Ｂ・Ｃの各々が、1回目または2回目で当選する確率は2/5。

（３）上記の（２）は、「当たりくじ２つを5人で同時に引く」のと同じですが、1回目・2回目に分けて、Ｄ・Ｅが「1回目でどちらも落選したら、2回目は辞退する」という「抽選辞退」があると、少し複雑になります。Ｄ・Ｅの当選確率には影響しませんが（上記（２）と同じ1/10）、Ａ・Ｂ・Ｃがどのルールに合意するかに影響します。

　この場合、Ａ・Ｂ・Ｃの各々の当選確率は、
　1回目：1/5　・・・（A）
　2回目：1回目で自分およびＤ・Ｅとも落選した場合には（確率2/5）、Ｄ・Ｅが辞退して残りの確率が1/2になるので、このケースで当選する確率は1/5　・・・（B）
　さらに、1回目でＤ・Ｅの一方が当選した場合には（確率2/5）、Ｄ・Ｅの残った方が2回目にも参加するので、確率は1/4になり、このケースで当選する確率は1/10　・・・（C）
　ということで、Ａ・Ｂ・Ｃの各々の当選確率は、1/2になります。

（４）ちょっと厄介なのは、「死に券の復活抽選」がある場合です。この場合も、Ｄ・Ｅの当選確率には影響しませんが（上記（２）と同じ1/10）、Ａ・Ｂ・Ｃがどのルールに合意するかに影響します。
　（１）では死に券が発生しませんが、（２）（３）では発生する可能性があります。
　（３）で、1回目でＤ・Ｅが当選しても2回目でＤ・Ｅの残った方が落選したら1回目の当選券を辞退する場合です。これがあり得る場合には、Ａ・Ｂ・Ｃにとってはこのルールが（１）よりも有利になるので、Ａ・Ｂ・Ｃは（１）のルールには合意しない可能性があります。

　計算してみると、Ａ・Ｂ・Ｃの各々の当選確率は、
　1回目：1/5　・・・（A）
　2回目：1回目で自分およびＤ・Ｅとも落選した場合には（確率2/5）、Ｄ・Ｅが辞退して残りの確率が1/2になるので、このケースで当選する確率は1/5　・・・（B）
　さらに、1回目でＤ・Ｅの一方が当選した場合には（確率2/5）、Ｄ・Ｅの残った方が2回目にも参加するので、確率は1/4になり、このケースで当選する確率は1/10　・・・（C）
　これに「1回目でＤ・Ｅの一方が当選したが、2回目でＤ・Ｅの残った方が落選したので（確率2/5の3/4→3/10）、1回目の当選権も放棄する→再度Ａ・Ｂ・Ｃの残った2人で抽選＝確率1/2」なので、このケースで当選する確率は3/20　・・・（D）
　従って、（A）～（D）のいずれかで当選する確率は13/20と（１）よりも大きくなる。

　つまり、ルール決めの段階で、Ａ・Ｂ・Ｃは（３）（４）のルールを主張します。この場合のＤ・Ｅが両方とも当選する確率は、（２）と同じ1/10です。

　（１）のルールでは、Ｄ・Ｅが両方とも当選する確率は1/4と高くなりますが、抽選辞退や死に券の取り扱い方によっては（（４）のルールがあり得る場合）、Ａ・Ｂ・Ｃは（１）のルールに合意しない可能性があります。

　主催者側の「ルール決め」が大事だということでしょう。
　ご参考まで。

No.3 回答者： nag0720 回答日時： 2015/04/07 08:17

訂正です。

一人ずつ抽選を行った場合で、Ｄ・Ｅの２人が一緒に参加できる確率は、2/5×1/4＝1/10　でした。

No.2 回答者： nag0720 回答日時： 2015/04/07 06:01

＞Ｄ・Ｅを一人（実際の参加人数は2人）と考えて、当選だったら2人とも参加し、はずれの場合は2人とも不参加です。

その具体的な抽選方法を聞いているのです。くじ引きなら何本中何本の当たりなのか。


＞また、くじ引きでの場合、先にＡ・Ｂ・Ｃの誰か一人でも当たりを引いている場合は、Ｄ・Ｅはもし当たりを引いても定員（2人）を超えるので参加できません。

その方法では、くじ引きの順番が影響します。先にＤ・Ｅが当たりを引いたら、Ａ・Ｂ・Ｃは当たりを引いても参加できないんですよね。
順番は決まっているんでしょうか？　５人同時に引いたらどうするんでしょうか？


＞一人ずつ抽選を行った場合1人1人の当選確率は2/5ですが、そのなかでＤ・Ｅの２人が一緒に参加できる確率もお願いします。

Ｄ・Ｅの２人が一緒に参加できる確率は、2/5×2/5＝4/25

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2015/04/07 04:45

5人それぞれ1人ずつで抽選を行う場合は、５本中当たりが２本あるクジを５人に引かせると考えれば、それぞれの当選確率は2/5です。

では、Ｄさん、Ｅさんを1組と考えて抽選を行う場合の抽選方法はどのように考えていますか？
それが決まらなければ確率は計算できません。

この回答へのお礼

早速の返答ありがとうございます。
Ｄ・Ｅを一人（実際の参加人数は2人）と考えて、当選だったら2人とも参加し、はずれの場合は2人とも不参加です。
また、くじ引きでの場合、先にＡ・Ｂ・Ｃの誰か一人でも当たりを引いている場合は、Ｄ・Ｅはもし当たりを引いても定員（2人）を超えるので参加できません。
もし可能であればですが、一人ずつ抽選を行った場合1人1人の当選確率は2/5ですが、そのなかでＤ・Ｅの２人が一緒に参加できる確率もお願いします。

お礼日時：2015/04/07 05:40