量子論 固有ベクトルについて

以下のような課題を出されたのですが、気措置しいがないためさっぱり分かりません（ *_* ）
本を読んでみましたがいまいち理解できませんでした…お力をお貸しください。


二行二列の実対称ベクトルないしはハーミット行列で、固有値λiと固有ベクトルⅠαi >を求め、異なる固有値に関する固有ベクトルが直交すること〈αi | αj 〉＝ 0 を示せ。

※具体的には〈αi | αj 〉＝ δij となるように規格化する Pi ＝| αi ＞＜ αi | と置くとき （Pi）~2 ＝ Pi、P1 + P2＝E となることを示す。
ここで、Ｅは単位行列で表される恒等演算子である。


宜しくお願いします。

質問者からの補足コメント

• 回答ありがとうございます。
  
  私が理解できたのは、行列の基礎的な内容と一時変換までです。
  式変形などは分かっても、なぜそれをしているか、なども分かりません。
  この問題の意図も掴めていない状況です。
  申し訳ありません、エルミート行列の間違いです。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/05/22 12:57

• 人に直接聞くのが一番だとわかった上での投稿です。
  周辺に他大学も他学部もなく、質問出来るのは出題者本人だけなんです。
  ありがとうございます、もう少し考えてみます…。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/05/23 19:02

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/05/27 17:03

行列Aの異なる固有値をu、v、対応する固有べクトルをx,yとすれば

y・Ax - x・Ay=(u-v)(x・y) (ア)

Aが実対称なら

y・Ax = x・Ay (イ)

従って x・y=0

(ィ)は2x2の行列なら容易に判ります。
n×nへの拡張、エルミートへの拡張は
これができてからでよいでしょう。

線形代数の教科書に載ってますので
悩まず本を買ったらいかがでしょう。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/05/22 23:38

まじめな話として, そのレベルだとここで質問するのって効率悪いと思うんだ. 内容は量子力学もしくは線形代数学だから, この課題を出した人間を質問攻めするなら線形代数の人間に聞くなりする方があなたのためになると思うよ.

ちなみに, 例えば Pi^2 = Pi はその前の規格化条件を使って素直に計算すればいい.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/05/22 12:33

「本を読んでみましたがいまいち理解できませんでした」って書いてるけど, じゃあどこまで理解できていてどこが理解できないのかきちんと書いてもらえませんか?

しかし, 「ハーミット行列」なんてどこで学ぶんだろう....