
A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
a(n+1)=2a(n)+3n (1)
a(n)=2a(n-1)+3(n-1) (2)
(1)-(2)
a(n+1)-a(n)=2[a(n)-a(n-1)]+3 (3)
b(n)=a(n+1)-a(n) (4)
とおく。(3)は
b(n)=2b(n-1)+3 (5)
収束値βがあると仮定すると
lim(n→∞)b(n)=lim(n→∞)b(n-1)=β
(5)は
β=2β+3
β=-3 (6)
(5)-(6)
b(n)+3=2b(n-1)+6=2[b(n-1)+3]=2^2[b(n-2)+3]=....=2^(n-1)[b(1)+3]
b(n)=2^(n-1)(b(1)+3)-3 (7)
(4)より
b(n)=a(n+1)-a(n)
b(n-1)=a(n)-a(n-1)
b(1)=a(2)-a(1) (8)
足し合わせると
Σ(k=1,n)b(k)=a(n+1)-a(1) (9)
(7)より
Σ(k=1,n)b(k)=(b(1)+3)[(2^n-1)/(2-1)]-3n=(b(1)+3)(2^n-1)-3n
(9)に代入
a(n+1)=(b(1)+3)(2^n-1)-3n+a(1)
a(n)=(b(1)+3)[2^(n-1)-1]-3(n-1)+a(1)
=(b(1)+3)2^(n-1)+a(1)-b(1)-3n (10)
a(1),a(2)が与えられると(8)よりb(1)が計算できて、(10)により一般項が与えられる。
No.2
- 回答日時:
特性方程式で、
a=2a+3n
a=-3n
よって、
an+1+3n=2(an+3n)
an+3n=bn とすると
bn+1=2bn
b1=a1+3
(a1は未定なので、b1も未定)
よって、bnは、初項a1+3,公比2の等比数列
bn=(a1+3)*2^(n-1)
an=bn-3n
=(a1+3)*2^(n-1)-3n
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