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二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

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A 回答 (3件)

W(z)=φ+iψ とおくと、



dW/dz = u-iv
   = 2xy-i(x^2-y^2+1)
   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。
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この回答へのお礼

わかりやすい回答ありがとうございます。

お礼日時:2004/06/27 17:26

tomtakさんが既にご回答されていますので、以下、補足の蛇足。


>二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が
u=2xy
v=x^2-y^2+1
であるとき

速度ポテンシャルφは次式で定義される(←流体力学のテキスト参照)。
 u=2xy=∂φ/∂x  (1)
 v=x^2-y^2+1=∂φ/∂y (2)
一方、流れ関数ψは次式で定義される。
 u=2xy=∂ψ/∂y  (3)
 v=x^2-y^2+1=-∂ψ/∂x  (4)

●速度ポテンシャルφは(1),(2)より
 φ=x^2y+C(x),C(x)はxだけの関数  (5)
 φ=x^2y-(1/3)y^3+y+C(y),C(y)はy〃 (6)
(5)(6)は恒等的に等しいことから
 C(x)=0,C(y)=(1/3)y^3-y を得る。これを(5)に代入して φ=x^2y。

●流れ関数ψもまったく同様にして
(3)より ψ=xy^2+C(y),C(y)はyだけの関数 (7)
(4)より ψ=-(1/3)x^3+xy^2-x+C(x),C(x)はx 〃 (8)
(7)と(8)は恒等的に同じだから
 xy^2+C(y)=-(1/3)x^3+xy^2-x+C(x) (9)
これから(x,yの項それぞれを比較する)
 C(x)=(1/3)x^3+x,C(y)=0 (10)
が得られる。(10)を(7)に代入すると流れ関数は ψ=xy^2。
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この回答へのお礼

授業では習わなかった回答法で、参考になりました。
ありがとうございます。

お礼日時:2004/06/27 17:29

このような流体力学の場合、偏微分でいっぱいの式をここにテキストベースで書くのは無理なので、ヒントだけ書きます。


ナビエ・ストークスの式と、連続の式の定義にu,vを叩き込んでみてください。

この回答への補足

早速の回答ありがとうございます。
複素ポテンシャル dw/dz=u-ivから求めることはできませんか?

補足日時:2004/06/27 01:18
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