No.2ベストアンサー
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a[n+2]=a[n+1]+a[n]-1
が、
a[n+2]+pa[n+1]+q=r{a[n+1]+pa[n]+q}
と変形できるとすると、
数列 {a[n+1]+pa[n]+q} は、
初項 a[2]+pa[1]+q,
公比 r
の、等比数列になります。
a[n+2]=a[n+1]+a[n]-1 ・・・・・ (A)
が、
a[n+2]+pa[n+1]+q=r{a[n+1]+pa[n]+q}
と変形できるとすると、
a[n+2]=(r-p)a[n+1]+pra[n]+q(r-1)
であるから、係数を比較して、
r-p=1 ・・・・・ ①
pr=1 ・・・・・ ②
q(r-1)=-1 ・・・・・ ③
① より
r=p+1 ・・・・・ ①’
② に代入して
p(p+1)=1
p^2+p-1=0
p=(-1±√5)/2
①’ に代入して
r=(-1±√5)/2+1=(1±√5)/2
③ に代入して
q[(1±√5)/2}-1]=-1
q{(-1±√5)/2}=-1
q=-2/(-1±√5)=-2(-1∓√5)/(-1±√5)(-1∓√5)=-2(-1∓√5)/(1-5)=-2(-1∓√5)/(-4)=(-1∓√5)/2 (複合同順)
したがって、 (A) は、
a[n+2]+{(-1+√5)/2}a[n+1]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}[a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2]
と変形でき、数列 {a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2} は、
初項 a[2]+{(-1+√5)/2}a[1]+(-1-√5)/2
=a[1]+a[0]-1+{(-1+√5)/2}a[1]+(-1-√5)/2
=2+1-1+{(-1+√5)/2}×2+(-1-√5)/2
=2+1-1-1+√5+(-1-√5)/2
=(1+√5)/2
公比 (1+√5)/2
の等比数列だから、
a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}{(1+√5)/2}^(n-1)
a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}^n ・・・・・ (B)
また、 (A) は、
a[n+2]+{(-1-√5)/2}a[n+1]+(-1+√5)/2={(1-√5)/2}[a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2]
と変形でき、数列 {a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2} は、
初項 a[2]+{(-1-√5)/2}a[1]+(-1+√5)/2
=a[1]+a[0]-1+{(-1-√5)/2}a[1]+(-1+√5)/2
=2+1-1+{(-1-√5)/2}×2+(-1+√5)/2
=2+1-1-1-√5+(-1+√5)/2
=(1-√5)/2
公比 (1-√5)/2
の等比数列だから、
a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2={(1-√5)/2}{(1-√5)/2}^(n-1)
a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2={(1-√5)/2}^n ・・・・・ (C)
(B)-(C) より
√5a[n]-√5={(1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n
両辺を √5 で割って、
a[n]-1=(1/√5)[{1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]
よって、
a[n]=(1/√5)[{1+√5)/2}^n-{(1-√5)/2}^n]+1
となります。
したがって、 (A) は、
a[n+2]+{(-1+√5)/2}a[n+1]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}[a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2]
と変形でき、数列 {a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2} は、
初項 a[2]+{(-1+√5)/2}a[1]+(-1-√5)/2
=a[1]+a[0]-1+{(-1+√5)/2}a[1]+(-1-√5)/2
=2+1-1+{(-1+√5)/2}×2+(-1-√5)/2
=2+1-1-1+√5+(-1-√5)/2
=(1+√5)/2
公比 (1+√5)/2
の等比数列だから、
a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}{(1+√5)/2}^(n-1)
a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}^n ・・・・・ (B)
ですが、
初項を、
a[1]+{(-1+√5)/2}a[0]+(-1-√5)/2 とすると、
a[1]+{(-1+√5)/2}a[0]+(-1-√5)/2
=2+{(-1+√5)/2}+(-1-√5)/2
=1
となり、
a[n+1]+{(-1+√5)/2}a[n]+(-1-√5)/2={(1+√5)/2}^n
と、すぐに (B) に式がつくれます。
同じようにして、
また、 (A) は、
a[n+2]+{(-1-√5)/2}a[n+1]+(-1+√5)/2={(1-√5)/2}[a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2]
と変形でき、数列 {a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2} は、
初項 a[1]+{(-1-√5)/2}a[0]+(-1+√5)/2
=2+{(-1-√5)/2}+(-1+√5)/2
=1
公比 (1-√5)/2
の等比数列だから、
a[n+1]+{(-1-√5)/2}a[n]+(-1+√5)/2={(1-√5)/2}^n ・・・・・ (C)
と、 (C) の式がつくれます。
a[0] まで考えているので、 項数 が 1 増えます。
だから、 《 r^(n-1) 》 ではなく、 《 r^n 》 になります。
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