幾何のこの問題、解いてください！

安心してください
京都大学の入試問題ではありません！！（笑）

何かの雑誌で見かけたこの問題、これで解きかた合ってますでしょうか？
ご教授ください。

もうちょっとスマートな解法もあるような気がします。遠回りしていないでしょうか？

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問題
図１は正方形であり一辺の長さは１とする。
図1の中の曲線はそれぞれ左上、右下を中心とし、正方形の一辺を半径とする円弧である。
さて、図１の正方形の中のレモン形状の部分の面積を求めよ。
円周率はパイ（π）とする
（図は別表をご覧ください）


解法
図１の類似形状の図を拡張すると右の図になる。
右図は一辺の長さ２の正方形の中に内接する円があり（半径の長さは1である）
その正方形の各辺の中点を頂点とする正方形が内在した状態である。
よって図１のレモン形状の部分は右図の青色部分、円の面積から
小さい正方形の面積を引いた部分の二分の一である。
数式で表すと以下の通り
半径１の円の面積は　πrr
小さい正方形の一辺は以下で求められる。
小さい正方形の一辺は、大きい正方形の辺の頂点から中点までを直角の挟角とする、直角二等辺三角形でもあるので、三平方の定理より
1*1+1*1=√２　である
よって小さい正方形の面積は　√２*√２＝　２　である
円の面積から小さい正方形の面積の差の二分の一は、
（πrr　－　２）/２　これが解答である。

No.1 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/01 11:52

図１で、解けます。

正方形の左上の頂点を中心とする半径１の四分円の面積と、
右下の頂点を中心とする半径１の四分円の面積を足すと、
正方形の面積とレモン形状の面積の和になります。　（レモン形状の部分が２回足されていることになります）

だから、レモン形状の面積は、
π×1^2×(1/4)×2－1×1=(1/2)π－1
になります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>レモン形状の部分が２回足されていることになります

なるほど、この観点からの解法には気づきませんでしたな。
それから、私の回答、半径ｒを1に置き換えるのを忘れてますね。
あと、私の解答は、三平方の定理の使い方も間違ってるね。
こりゃまた失礼しました。

お礼日時：2015/10/01 12:30

No.3 回答者： fxq11011 回答日時： 2015/10/03 11:10

図１に、もう一つの対角線に沿ったレモンを重ね、中心の膨らんだ四角の面積を求める問題もあります。

頭の良い人なら、暗算？、または数回のメモで計算できます。
京大入試・・・ならせめてこの程度くらいでやってほしい・・・・。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます

お礼日時：2015/10/03 18:26

No.2 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/01 11:55

京大の入試問題どころか、中学数学の教科書レベルな気が...

左上の部分を①、レモンの部分を②、右下の部分を③とする
①以外の部分(②＋③)は円の1/4なので、π/4
全体の面積が1なので、①の面積は1-π/4
明らかに①＝③
②＋③=π/4であり、③=1-π/4なので
②＝π/4 - (1-π/4) = π/2 - 1 (終わり)

もしくは、①＝③＝1-π/4なので、
②＝正方形の面積(=1)-①-③ = 1- 2*(1-π/4) = π/2-1

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

>京大の入試問題どころか、中学数学の教科書レベルな気が...

別にこの問題自体が京大入試試験ってわけじゃなく、
かつて京大入試の試験中に、携帯電話を使って入試問題をネット上にアップして他人に解かせていた、って事件があったので
「もちろん、そういうのとは無関係ですよ」
って意味で断り書きしただけなんですが、この事件、ご存じない？
ご存知なければ結構です、はい、失礼しました。

正解までには、いろんな筋道がありますね。


ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/01 12:35