高次フィルタの伝達関数の求め方

RCローパスおよびバタワースフィルタの
伝達関数の積とフィルタの次数について教えてください。

バタワースフィルタの伝達関数は
http://www.kochi-tech.ac.jp/library/ron/2000/ele …
このページに書いてあり
Gn=1/(1+(iω/ω0)^2n) ・・・式(1)

で表されます。

つまり1次の式は
G1=1/(1+(iω/ω0)^2)
で表されます。
この式はRCのローパスの式と一致します。

2次の式は式(1)によれば
Gn=1/(1+(iω/ω0)^4) ・・・式(2)
で表されます。

2次の伝達関数は1次の伝達関数の積となると思ったのですが
G1*G1をしても式(2)を得ることはできません。

一方で
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
http://blog.goo.ne.jp/commux/e/30886d68e22ffe4d5 …
これらのページに
RCのローパスフィルタを連立させた時の伝達関数は
前後でのインピーダンスが無限大であれば
単純な積で表されるが実際には電流が流れるため
単純にそれらの伝達関数の積にはならないとして計算式が書かれています。
しかし、最終的に得られる結果はいずれも式(2)とは異なります。

高次の伝達関数を1次の伝達関数から得るためには
バタワースの場合には
どのような計算を行えば良いのでしょうか？

またその計算方法は
バタワースの場合とRCの場合で異なるのはなぜなのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• とりあえず理解できたことは、
  ・フィルタの次数とフィルタの連立数は異なるものである。
  ・1次のバタワースと1次のRCフィルタの式は一致するが、2次以上では一致せず、全く異なるフィルタである。
  
  これは合っていますか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/10/06 12:22

• 後、以下疑問点です。
  
  http://fast-uploader.com/file/6999656998419/
  
  ブラウザ上だと式が読みづらいのwordファイルをアップロードしました。
  
  仰る通り、wikiなどに書かれてあるバタワースの式は
  Gn=1/(1+(iω/ω0)^2n)
  のような簡単なものではなく、多項式で表される複雑なものです。
  しかし、上式の絶対値を計算してみても
  wikiのページに書かれてある利得の式が得られるのですが
  上の簡単な式は誤りでしょうか？
  偶然、絶対値だけが一致したと考えるべきでしょうか？
  
  >何をどうしているのか何も書かれていないので
  
  質問欄で示した二つのURLを見ていただけませんか？
  そこに導出過程と計算結果が書かれてあります。

    補足日時：2015/10/06 12:22

• どうやって作るつもりかというのは
  sallen-keyを組み合わせても作ることができない、
  という意味ですか？
  　
  つまり、sallen-keyから作れるようにするために
  バタワース多項式を使った複雑な式が用いられるという意味ですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/10/10 15:25

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/10/11 00:59

「sallen-keyから作れるようにするため」というのは正確じゃないね. 正しくは

作るため
だ.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時：2015/10/12 13:01

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/10/07 00:14

うぅんと... ふつう伝達関数では変数に s (離散時間なら z) を使うから, s を使った形で書いてほしいなぁ....

さておき, そもそも
G(s) = 1/[1 + i(s/ωc)^n]
って「伝達関数」を持つようなフィルタをどうやって作るつもりなんでしょうか.

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2015/10/05 23:57

すみません, 質問の意味がわかりません. そもそも「バタワースフィルタ」というものを理解した上で質問しているんだろうかと疑問を抱いてしまう.

ちょっと個別に書いてみるけど:

まず, バタワースフィルタの特性は
Gn=1/(1+(iω/ω0)^2n)
じゃないし, 「G1*G1をしても式(2) (の G2) を得ることはできません」というのも単に
1次のバタワースフィルタを 2段接続しても 2次バタワースフィルタにはならない
といっているだけに過ぎない (しそれは「バタワースフィルタ」を知っていれば「当然」のことである).

さらにいうと「RCのローパスフィルタを連立させた時の伝達関数」というのも意味不明だがこれを「ローパスフィルタを接続したときの伝達関数」と解釈すれば (理想的には) 個々の伝達関数の積で全体の伝達関数を求めることができるが「最終的に得られる結果はいずれも式(2)とは異なります」の部分は具体的に何をどうしているのか何も書かれていないので「はあそうですか」としか言いようがない.

で「高次の伝達関数を1次の伝達関数から得るため」ということだけど, これは「高次のフィルタをどう作っているか」というところに帰着される. 高次のフィルタを 1次のフィルタの縦列接続で作っているなら, 上に書いたように個々の伝達関数の積を計算すればそれが全体としての伝達関数になる. もちろん「1次のフィルタの縦列接続」以外の方法で作っているんだとしたらそれなりな方法を考えなきゃならない.