高校数学、確率

（問題）
３人の女子と１２人の男子が無作為に円卓に座る。
（１）３人の女子が連続して座る確率を求めよ。
（２）少なくとも２人の女子が連続して座る確率を求めよ。
（自分の解答）
席を時計回りに１～１５とする。
(1)１５人の座り方は１５！とおりである。
このうち、３人の女子が連続する座り方は｛１,2,3},,,{15,1,2}と１５通りであり、それぞれに対して女子の座り方が３！とおり、男子の座り方が１２！とおりで、
３/91（正解）
（２）女子がばらばらに座る場合はまず男子を座らせて、その間（１２こ）に女子を座らせればよいから、
１２！×１２×１１×１０とおり。１－（１２！×１２×１１×１０/15！）
よって、求める確率は４７/91（誤り）
（２）でなぜ間違えたのかがよくわかりません。
（補題）男子５人女子３人が並ぶとき、女子が隣り合わない方法は何通りか？
という問題では男子を先に並べてから女子を間に入れると考えるので、それに倣ったのですが。
どなたかどこがいけないのか教えてください。お願いします。

質問者からの補足コメント

• 自分が読んでいる参考書は「はっと目覚める確率」という本なのですが、この本では確率と場合の数の違いがたびたび強調されており、この問題についても確率では円卓であっても１５席は区別すべきとして、全事象に１５！をとっています。
  「（２）では、
  男子１人を固定して、残りの男子１１人を順に並べるので、　１１! (通り)、
  ３人の女子を、並べた男子の間に１人ずつ並べればよいから、　₁₂Ｐ₃ (通り)、
  だから、分子は、
  １１!×₁₂Ｐ₃ (通り)　
  になります。
  これから、求める確率は、
  １－{(１１!×₁₂Ｐ₃ )/１４!}＝１－５５/９１＝４６/９１
  になるのではないでしょうか。」とのことですが、
  私の方法と同じような考え（補題同様に、隣り合ってはいけないものは間に入れる）という考えで「円順列の場合は」解けるというのはわかりました。
  （続く）

    補足日時：2015/10/08 22:58

• というのも、円順列の場合、男子１人から見たらどういう並びか？という相対性のみで考えるので、席次はどうでもよいので、（１，２，３，４、、１５どれにつこうと男子の１人から見て同じ並びならば同一視する）間に入れても問題ないのだろうと思いました。
  ところが、私の答案では席次を考慮すべきなのにもかかわらず、間に入れてしまっては席次がずれてしまいうまく数えることができないと思いました。
  １－{(１５×１１!×₁₂Ｐ₃ )/１５!}とすると正解になりますが、１２人の男子を座らせてからその間に女子を座らせるというより、円順列のように、「席次はいったん無視して」、１人の男子の相対的位置関係を考えて１１!×₁₂Ｐ₃ 、１から１５の席にその注目した男子が座る方法を考えているというかんじでしょうか。
  （続く）

    補足日時：2015/10/08 23:16

• どなたか私の自分の解答の検証で誤っている部分があれば教えて下さい。お願いします。

    補足日時：2015/10/08 23:20

• 

  その参考書の解答は（２）では余事象を使わずにそのまま直接求めているので、参考にならないかもしれませんが、
  １５人の席の選び方は１５！通りある。
  このうち適する席の組み合わせは１５×１２通りあり（１つの席に対しその両隣はダメという方法で出した）、その１通りに対して各場所への女子と男子の入り方は３！×１２！通りあるから、
  １５×１２×３！×１２！/１５！。
  少し自分でも考えたいと思います。それでもよくわからなければ教えて下さい。

    補足日時：2015/10/09 23:08

No.8 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/10 21:23

このうち適する席の組み合わせは１５×１２通りあり（１つの席に対しその両隣はダメという方法で出した）、

その１通りに対して各場所への女子と男子の入り方は３！×１２！通りあるから、
１５×１２×３！×１２！/１５！

　　↓↓↓

女子３人の席の選び方が、
１人目の女子は、　添付写真の１～１５の１５通り

残り２人の女子の席の選び方は、
例えば、番号１に座ったとして、
(２，３)、(２，４)、(２，５)、(２，６)、(２，７)、(２，８)、(２，９)、(２，１０)、(２，１１)、(２，１２)、(２，１３)、(２，１４)
の１２通り
【　(２，１５)　は、席を１つ分、右にずらすと、(２，３)　の席に座るのと同じ座り方になる。　】

残った席は、男子が座ればよいから、
適する席の組み合わせは１５×１２通り

だから、

少なくとも２人の女子が連続して座る座り方は
１５×１２×３！×１２！　（通り）

このような考え方ではないでしょうか？


この方法でも、　『　１５　』　を掛けなければ、
１人を固定して考える方法
分母が　１４！　の　
１２×３！×１２！/１４！
でもいいと思いますが・・・。

No.7 回答者： nag0720 回答日時： 2015/10/10 01:59

>このうち適する席の組み合わせは１５×１２通りあり（１つの席に対しその両隣はダメという方法で出した）

その方法は、男子を先に座らせてその間（１２こ）に女子を座らせるという方法とは、別の方法です。

２人の女子が連続する座り方は｛1,2},{2,3},,,{15,1}の１５通り
もう１人の女子の座り方は、例えば女子２人が｛1,2}の場合、3,4,,,14の１２通り（15の席はダメ）
これで、少なくとも２人の女子が連続して座る席の組み合わせの数（１５×１２）を求めています。


余談ですが、男子を座らせてその間に女子を座らせるという方法では、
１－（₁₂C₃／₁₂H₃）
という計算方法もあります。

No.6 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/09 02:14

１－{(１５×１１!×₁₂Ｐ₃ )/１５!}とすると正解になりますが、１２人の男子を座らせてからその間に女子を座らせるというより、円順列のように、「席次はいったん無視して」、１人の男子の相対的位置関係を考えて１１!×₁₂Ｐ₃ 、１から１５の席にその注目した男子が座る方法を考えているというかんじでしょうか。

　　　↑↑↑

この考え方だと、
分母を　１５！（通り）にする意味がなくなってしまいますよ。


ちなみに、その本の解答例はどんな式ですか？


明らかに、円順列で考えるのが一番良い方法だと思うのですが、
どうしても、分母を　１５！（通り）で考えるのであれば、
分子は
（１）　１番目に男子がくる場合
（２）　１番目に女子がくる場合
の２つの場合に分けて考えればよいのでは？

（１）の場合
１２！×₁₂Ｐ₃ （通り）　（ ⇦　誤答となった式（余事象の分子の式））
（２）の場合
３×１２！×₁₁Ｐ₂ （通り）
になります。

これより、求める確率は、
１－{(１２！×₁₂Ｐ₃ ＋３×１２！×₁₁Ｐ₂) /１５！}
＝１－{(１２！×１２×１１×１０＋３×１２！×１１×１０) /１５！}
＝１－[{１２！×１１×１０×(１２＋３)} /１５！]
＝１－{(１２！×１１×１０×１５) /１５！}
＝１－{(１１×１０) / (１４×１３)}
＝１－(５５/９１)
＝３６/９１
になります。


分子の考え方ですが、
（１）の場合は、質問にある考え方です。　（添付写真の上の図）
（２）の場合は、
１番目にくる女子の並べ方が、３人の中から１人とって並べればよいから　３通り、
次に、１２人の男子を順に並べればよいから　１２！（通り）、
残った２人の女子を並んだ男子の間に並べればよいから　₁₁Ｐ₂ （通り）
になります。
このとき、１番目の男子と１２番目の男子の間には、もうすでに女子が１人いることに注意してください。
なので、２人の女子を男子の間に並べるとき、男子の間は１１か所になります。　（添付写真の下の図）

No.5 回答者： nag0720 回答日時： 2015/10/09 01:40

No.4の続き

分母を１５！とする場合について

男子１２人を横１列に並べるとその間は１３か所。
その間に女子が座る場合の数は、
１３×１２×１１
その内、両端に女子が座る場合の数は、
３！×１１
なので、
１－（１２！×（１３×１２×１１－３！×１１）/１５！）＝３６／９１

No.4 回答者： nag0720 回答日時： 2015/10/08 23:54

>（補題）男子５人女子３人が並ぶとき、女子が隣り合わない方法は何通りか？という問題では男子を先に並べてから女子を間に入れると考えるので、それに倣ったのですが。

この補題は、男子５人を横１列に並べてその間の６か所に女子を入れるという方法です。
男子１２人の場合、横１列に並べるとその間は１３か所です。
円卓ではその間は１２か所ですから、それが補題と違う点です。

１２か所とするためには、例えば、先頭の男子の左側には女子は入れないというような条件が必要です。
その条件で１５人を並べたときの並べ方の数は、
先頭は男子で残りは１４人の順列なので、
１２×１４！

したがって問題の答えは、
１－（１２！×１２×１１×１０/（１２×１４！））＝３６／９１
となります。


補題を参考にするのはいいですが、補題との違いも式に反映させる必要があります。

No.3 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/08 21:24

Ｎｏ．１　の訂正です。

１－{(１１!×₁₂Ｐ₃ )/１４!}＝１－５５/９１＝４６/９１

　　　↓↓↓

１－{(１１!×₁₂Ｐ₃ )/１４!}＝１－５５/９１＝３６/９１　　（　⇦　４６/９１　ではなく　３６/９１　です。　）

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/08 19:22

添付写真の図ですが、

１５人だと、数が多いから、６人で・・・、

Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｂ．Ｅ，Ｆ　の６人の座っている場所は異なりますが、
すべて、
Ａの右は　Ｂ、
Ｂの右は　Ｃ、
Ｃの右は　Ｄ、
Ｄの右は　Ｅ、
Ｅの右は　Ｆ、
Ｆの右は　Ａ
になっています。

なので、これらは
《　同じ並び方　》　になります。

このように、１つずつずれた座り方は、　《　同じもの　》　として考えます。

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/08 18:43

【　円順列　】　の問題ですが・・・、

基本的には、
《　一人を固定して、残りの人を順に並べていきます。　》

この場合、分母は、
１人を固定して、残りの　１４人　を並べる場合の数　１４! (通り) になります。

（１）では、
分子は、
3人の女子が連続して座るので、３人の女子を１人とみなします。
この、１人とみなした女子を固定して、残りの男子１２人を並べると　１２! (通り),
１人とみなした３人の女子の並べ方が、３! (通り)
だから、確率は、
(１２!×３!)/１４!＝３/９１
になります。

（２）では、
男子１人を固定して、残りの男子１１人を順に並べるので、　１１! (通り)、
３人の女子を、並べた男子の間に１人ずつ並べればよいから、　₁₂Ｐ₃ (通り)、
だから、分子は、
１１!×₁₂Ｐ₃ (通り)　
になります。
これから、求める確率は、
１－{(１１!×₁₂Ｐ₃ )/１４!}＝１－５５/９１＝４６/９１
になるのではないでしょうか。