高校数学、確率

（問題）
さいころを投げるゲームをする。１の目が出たら１点、２または３の目が出たら２点、４または５または６の目が出たら０点を与える。
１点または２点を取ったら続けてさいころを投げ、０点を取った時点でゲームを終了する。
合計ｎ点でゲームを終了する確率をUnとする。
U（ｎ＋２）をU（ｎ＋１）とU(ｎ）であらわせ。
（自分の解答、誤答）
ｎ点でゲームを終了するのはｎ点の状態で、０点を取る時である。
ｎ＋２点を取るのはどういうときか考える。

（ア）ｎ点とって＋２点取る時、その確率は２（１－U（ｎ））/3
（イ）ｎ＋１点を取って＋１点取る時、その確率は１－U(ｎ＋１）/3
（ア）と（イ）は排反であり
U（ｎ＋２）＝２（１－U（ｎ））/3×(１/2)+(１－U(ｎ＋１）)/3×１/2
★ｎ点とって終了する＋ｎ点取って終了しない確率＝１として、２（１－U（ｎ））/3や１－U(ｎ＋１）/3
を立てている。
（自分が考えた誤答の原因）
★の部分が誤りで、
（ｎ－１点以内で終了する確率）＋（ｎ点目で終了する確率）＋（ｎ点目で終了しない確率）＝１であるから、（ｎ－１点以内で終了する確率）がわからないとだめ。
ｎ点とって＋２点取る確率＝（１－（ｎ点以内で終了する確率））×（2/3）は正しいがそれは求められない。
そう考えて、今度は、

ｎ点以内で終了する確率をＳ（ｎ）＝Ｕ（０）＋Ｕ（１）＋、、、＋Ｕ（ｎ）とする。
U（ｎ＋２）＝２（１－Ｓ（ｎ））/3×(１/2)+(１－ｓ(ｎ＋１）)/3×１/2①
として、①の項をずらして、
U（ｎ＋１）＝２（１－Ｓ（ｎ－１））/3×(１/2)+(１－ｓ(ｎ）)/3×１/2②
①-②より、
Ｕ（ｎ＋２）＝5/6U(n+1)-1/3U(n)としても間違えでした。なぜでしょうか？

No.4 ベストアンサー 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/13 17:37

ｎ＋２点で終わるのは１点取ってそこからｎ＋１点を取り終わるまたは２点取り、そこからｎ点を取り終わると考える他ないのでしょうか？

　　　↓↓↓

これは、

U（ｎ＋２）、U（ｎ＋１）、U(ｎ）　の　【　３項間の漸化式　】　になると考えられるので、

質問にある考え方か、

(ｎ＋１)点取って、そこから１点を取って終わる　または　ｎ点取って、そこから２点を取って終わる

という考え方のどちらかだと思います。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2015/10/13 17:54

No.3 回答者： ざわざわざわ 回答日時： 2015/10/13 00:29

No.2です。

5行目の式が間違いでした。
右辺に1/2をかけ忘れていました。

正しくは
U(n+2)
=(1/2)*{(1/3)*V(n+1)+(2/3)*V(n)}
=(1/6)*V(n+1)+(1/3)*V(n) です。

この回答へのお礼

自分の方法では間違えである理由はわかりました。

お礼日時：2015/10/13 02:21

No.2 回答者： ざわざわざわ 回答日時： 2015/10/13 00:04

得点nを取った後、続けられる確率をV(n)とします。

すなわち、V(n)は得点nの状況から1点または2点を取る確率です。

U(n+2)=(2/3)*V(n+1)+(1/3)*V(n) は理解していただけると思います。

ここで、V(n)=1-S(n)　としているのが誤りです。「得点n以下で終わらなければ、得点nを取った後、続けられる。」が誤まりだからです。
得点n以下で終わらなくても、得点nを取るとは限らないからです。(n-1点を取り、nを飛び越えてn+1点を取ることがあるため。)

質問とはずれますが、V(n)=U(n)より求める漸化式はno.1さんが答えてくれたものであることが分かります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ｎ＋２点で終わるのは１点取ってそこからｎ＋１点を取り終わるまたは２点取り、そこからｎ点を取り終わると考える他ないのでしょうか？

お礼日時：2015/10/13 02:18

No.1 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2015/10/12 19:55

ｎ＋２点を取るのはどういうときか考える。

（ア）ｎ点とって＋２点取る時、その確率は２（１－U（ｎ））/3
（イ）ｎ＋１点を取って＋１点取る時、その確率は１－U(ｎ＋１）/3
（ア）と（イ）は排反であり

↓↓↓

考え方は、合っていると思いますが、式が違うのでは？

０点　を取って（４，５，６の目が出て）終了するから、
Ｐ(n)×(1/2)＝Ｕ(ｎ) ・・・・・①
とおくと、
Ｐ(ｎ)　は、　得点がｎ点になる確率　とできます。

（ア）　の場合
Ｐ(ｎ)×(1/3)
（イ）　の場合
Ｐ(ｎ+1)×(1/6)
になるのでは？

① のようにおかなければ、
２Ｕ(n)　で考えればよいのでは？

（ア）と（イ）は互いに排反だから
Ｐ(ｎ+2)＝Ｐ(ｎ)×(1/3)＋Ｐ(ｎ+1)×(1/6)
両辺に　(1/2) をかけて
Ｐ(ｎ+2)×(1/2)＝Ｐ(ｎ)×(1/3)×(1/2)＋Ｐ(ｎ+1)×(1/6)×(1/2)
Ｐ(ｎ+2)×(1/2)＝Ｐ(ｎ)×(1/2)×(1/3)＋Ｐ(ｎ+1)×(1/2)×(1/6)
① より
Ｕ(ｎ+2)＝(1/3)Ｕ(ｎ)＋(1/6)Ｕ(ｎ+1)
Ｕ(ｎ+2)＝(1/6)Ｕ(ｎ+1)＋(1/3)Ｕ(ｎ)


２（１－U（ｎ））/3　や　１－U(ｎ＋１）/3　のように
１　から引かなくてもよいのではないでしょうか？


実際に、Ｕ(1)、Ｕ(2)、Ｕ(3)、Ｕ(4)、Ｕ(5)　を計算してみてはどうですか？
規則性　や　式　などが見えてくるかも・・・。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ｎ＋２点で終わるのは１点取ってそこからｎ＋１点を取り終わるまたは２点取り、そこからｎ点を取り終わると考える他ないのでしょうか？
自分の方法が間違えである理由はわかりました。

お礼日時：2015/10/13 02:20