線形代数の基本定理

本を読んでいたら、ある定理が引用されているのですが、それが線形代数の基本定理の１つなのだそうです。
”Ax=ｂが解をもつのは、ATy=0のすべての解yにｂが直交しているとき、かつそのときに限る”　というものがありました（Aは行列、ATはAの転置、x, b, y,０はそれぞれベクトル）。すごくシンプルで意味するところはわかりやすいですが、今まで見たことがありませんでした。
このことが証明付きで載っている教科書を紹介して頂きたいのですが。
ところで、解を持たないとは、どのような状態でしょうか。det(A)＝０の場合は逆行列を持てないのですが、解が無数にあるとも言えますね。２☓２の場合、連立方程式を構成している１次式をグラフ化したとき平行であれば交点がないので解が存在しないということになりますが。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/13 23:42

Ax が作る部分空間を V とすると、b が Ax で表すことができるなら、b∈V でなければならない。

ATy=0 の解集合W は V の直交補空間。
Wの直交補空間は元のV　(あ)

b がWのすべての要素と直交するなら　(あ)　から、b ∈ V
b が Wのすべての要素と直交しないなら (あ)　から b ∉ V

以上から、

「b がWのすべての要素と直交する」　⇔ 「Ax=b が解を持つ」

以上の議論は A が正方だといういうことは仮定していません。