ラグランジュの未定乗数法についての質問です

x^2+2y^2=34上におけるf(x,y)=2x-3yの最大値と最小値を求めろ。という問題をラグランジュの未定乗数法で解いたら最大値…1 最小値…-1となったのですが答えが間違っているようです…。正しい計算方法を教えてください。

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2015/11/28 20:42

当方がラグランジ未定乗数法で計算するとf(x,y)=2x-3yの

最大値：4
最小値：-4
と出た・・!

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2015/11/28 22:53

ラグランジュの未定乗数λを用いて極値を求める目的関数をG(x,y,λ)とすると、G(x,y,λ)は

G(x,y,λ)=2x-3y+λ(x^2+2y^2-34)

であたえられる。極値を与える点においては

∂G/∂x=2+2λx=0 (1)

∂G/∂y=-3+2λy=0 (2)

∂G/∂λ=x^2+2y^2-34=0 (3)

が成立する。

(1),(2)より

x=-1/λ, y=3/2λ

これを(3)に代入して

1/λ^2+(9/4)/λ^2=34

λ=±(1/2)√(13/34)

1)λ=(1/2)√(13/34)のとき

x=-2√(34/13), y=3√(13/34)

2x-3y=-√(13・34)= -√442 (4)

2)λ=-(1/2)√(13/34)のとき

x=2√(34/13), y=-3√(13/34)

2x-3y=√(13・34)=-√442 (5)

極大か極小化を判定するにはヘッセ行列式Hを計算する。

Gxx=∂^2G/∂x^2, Gyy=∂^2G/∂y^2, Gxy=Gyx=∂^2G/∂x∂yとおくと

H=GxxGyy-Gxy^2=2λ・2λ-0＝4λ^2＝13/34>0なので

Gxx=2λ＞0のとき極小、Gxx=2λ＜0のとき極大となる。

よって

x=-2√(34/13), y=3√(13/34)において極小値-√442

x=2√(34/13), y=-3√(13/34)において極大値√442

図形を考えると極大値、極小値はそのまま最大値、最小値になる。図形を考えればヘッセ行列式を持ち出さなくても再々、最小の判定はつく。

No.3 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/11/29 00:04

h=2x-3y+λ(x^2+2y^2-34) として

∂h/∂x=2-2λx=0 → x=-1/λ
∂h/∂y=-3+4λy=0 → y=(3/4)(1/λ)

x^2+2y^2=34 に上の結果を代入すると

(17/8)=34λ^2 → λ=±(1/4)

λ=1/4の場合 x=-4、y=3 → 2x-3y=-17
λ=-1/4の場合 x=4、y=-3 → 2x-3y=17

最大値 17、最小値 -17

この回答へのお礼

入力したら合っていました。ありがとうございました。

お礼日時：2015/11/29 10:47

No.4 回答者： Ae610 回答日時： 2015/11/29 01:40

ANo.1です

失礼・・!
計算ミスった(yを求めた際、負号落としてしまった)・・!
最大値：17
最小値：-17
の様だ・・!

この回答へのお礼

17,-17で合っているようです。ありがとうございました。

お礼日時：2015/11/29 10:48

No.5 回答者： spring135 回答日時： 2015/11/29 07:07

＃２です。

y^2にかかる係数2を見落としていました。以下数字を訂正します。考え方は変えていません。

ラグランジュの未定乗数λを用いて極値を求める目的関数をG(x,y,λ)とすると、G(x,y,λ)は

G(x,y,λ)=2x-3y+λ(x^2+2y^2-34)

であたえられる。極値を与える点においては

∂G/∂x=2+2λx=0 (1)

∂G/∂y=-3+4λy=0 (2)

∂G/∂λ=x^2+2y^2-34=0 (3)

が成立する。

(1),(2)より

x=-1/λ, y=3/4λ

これを(3)に代入して

1/λ^2+(9/16)/λ^2=34

λ=±1/4

1)λ=1/4のとき

x=-4,y=3

2x-3y=-17 (4)

2)λ=-1/4のとき

x=4, y=-3

2x-3y=17=17 (5)

極大か極小化を判定するにはヘッセ行列式Hを計算する。

Gxx=∂^2G/∂x^2, Gyy=∂^2G/∂y^2, Gxy=Gyx=∂^2G/∂x∂yとおくと

H=GxxGyy-Gxy^2=2λ・2λ-0＝4λ^2＝1/4>0なので

Gxx=2λ＞0のとき極小、Gxx=2λ＜0のとき極大となる。

よって

x=-4, y=3において極小値-17

x=4, y=-3において極大値17

図形を考えると極大値、極小値はそのまま最大値、最小値になる。図形を考えればヘッセ行列式を持ち出さなくても再々、最小の判定はつく。

この回答へのお礼

詳しい解き方まで書いていただき、ありがとうございます。

お礼日時：2015/11/29 10:48